Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cusgrrusgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrrusgr 40781
 Description: A complete simple graph with n vertices (at least one) is (n-1)-regular. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jul-2018.) (Revised by AV, 26-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrrusgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
cusgrrusgr ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((#‘𝑉) − 1))

Proof of Theorem cusgrrusgr
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cusgrusgr 40641 . . 3 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
213ad2ant1 1075 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ USGraph )
3 hashnncl 13018 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
4 nnm1nn0 11211 . . . . . 6 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
54nn0xnn0d 11249 . . . . 5 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
63, 5syl6bir 243 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*))
76imp 444 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
873adant1 1072 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0*)
9 cusgrcplgr 40642 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ComplUSGraph → 𝐺 ∈ ComplGraph)
1093ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplGraph)
11 cusgrrusgr.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1211nbcplgr 40656 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ComplGraph ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1310, 12sylan 487 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
1413ralrimiva 2949 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
152anim1i 590 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉))
1711hashnbusgrvd 40744 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣𝑉) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣))
19 fveq2 6103 . . . . . . 7 ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = (#‘(𝑉 ∖ {𝑣})))
20 hashdifsn 13063 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑣𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((#‘𝑉) − 1))
21203ad2antl2 1217 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑣})) = ((#‘𝑉) − 1))
2219, 21sylan9eqr 2666 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑣)) = ((#‘𝑉) − 1))
2318, 22eqtr3d 2646 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1))
2423ex 449 . . . 4 (((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)))
2524ralimdva 2945 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 (𝐺 NeighbVtx 𝑣) = (𝑉 ∖ {𝑣}) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1)))
2614, 25mpd 15 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1))
27 simp1 1054 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 ∈ ComplUSGraph)
28 ovex 6577 . . 3 ((#‘𝑉) − 1) ∈ V
29 eqid 2610 . . . 4 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
3011, 29isrusgr0 40766 . . 3 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ V) → (𝐺 RegUSGraph ((#‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1))))
3127, 28, 30sylancl 693 . 2 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐺 RegUSGraph ((#‘𝑉) − 1) ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((#‘𝑉) − 1))))
322, 8, 26, 31mpbir3and 1238 1 ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝐺 RegUSGraph ((#‘𝑉) − 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0*cxnn0 11240  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550  ComplGraphccplgr 40552  ComplUSGraphccusgr 40553  VtxDegcvtxdg 40681   RegUSGraph crusgr 40756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-uvtxa 40556  df-cplgr 40557  df-cusgr 40558  df-vtxdg 40682  df-rgr 40757  df-rusgr 40758 This theorem is referenced by:  cusgrm1rusgr  40782
 Copyright terms: Public domain W3C validator