Theorem cncfcompt 38768

Description: Composition of continuous functions. A generalization of cncfmpt1f 22524 to arbitrary domains. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcompt.bcn	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
cncfcompt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→𝐷))

Assertion

Ref	Expression
cncfcompt	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→𝐷))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfcompt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfcompt.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→𝐷))
2		cncff 22504	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶–cn→𝐷) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐶⟶𝐷)
5		cncfcompt.bcn	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶))
6		cncff 22504	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ (𝐴–cn→𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶𝐶)
8	7	mptex2 38344	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐶)
9	4, 8	ffvelrnd 6268	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐵) ∈ 𝐷)
10		eqid 2610	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵))
11	9, 10	fmptd 6292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶𝐷)
12		cncfrss2 22503	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐶–cn→𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
14		eqidd 2611	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
15	3	feqmptd 6159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑦)))
16		fveq2 6103	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐵))
17	8, 14, 15, 16	fmptco 6303	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)))
18		ssid 3587	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
19		cncfss 22510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐶–cn→𝐷) ⊆ (𝐶–cn→ℂ))
20	13, 18, 19	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶–cn→𝐷) ⊆ (𝐶–cn→ℂ))
21	20, 1	sseldd 3569	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶–cn→ℂ))
22	5, 21	cncfco 22518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
23	17, 22	eqeltrrd 2689	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ))
24		cncffvrn 22509	. . 3 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶𝐷))
25	13, 23, 24	syl2anc 691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→𝐷) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)):𝐴⟶𝐷))
26	11, 25	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝐵)) ∈ (𝐴–cn→𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  –cn→ccncf 22487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-abs 13824  df-cncf 22489

This theorem is referenced by:  itgsbtaddcnst  38874  fourierdlem23  39023  fourierdlem83  39082  fourierdlem101  39100