Theorem blbnd 32756

Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
blbnd	⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Proof of Theorem blbnd

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		rexr 9964	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3		blssm 22033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
4	2, 3	syl3an3 1353	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋)
5		xmetres2 21976	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ⊆ 𝑋) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
6	1, 4, 5	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
8		rzal 4025	. . . 4 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅ → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
10		isbndx 32751	. . 3 ⊢ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
11	7, 9, 10	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
12	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
13	1	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
14		simpl2 1058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ 𝑋)
15		simpl3 1059	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ)
16		xbln0 22029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
17	2, 16	syl3an3 1353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅ ↔ 0 < 𝑅))
18	17	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 0 < 𝑅)
19	15, 18	elrpd 11745	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ+)
20		blcntr 22028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
21	13, 14, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))
22	14, 21	elind 3760	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
23	15	rexrd 9968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → 𝑅 ∈ ℝ*)
24		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) = (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
25	24	blres 22046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ (𝑋 ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
26	13, 22, 23, 25	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅) = ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
27		inidm 3784	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∩ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) = (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)
28	26, 27	syl6req 2661	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅))
29		rspceov 6590	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+ ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑌(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
30	21, 19, 28, 29	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟))
31		isbnd2 32752	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) ↔ ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (∞Met‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ ∃𝑥 ∈ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅)∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) = (𝑥(ball‘(𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))))𝑟)))
32	12, 30, 31	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → ((𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅))
33	32	simpld 474	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝑌(ball‘𝑀)𝑅) ≠ ∅) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))
34	11, 33	pm2.61dane 2869	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑀 ↾ ((𝑌(ball‘𝑀)𝑅) × (𝑌(ball‘𝑀)𝑅))) ∈ (Bnd‘(𝑌(ball‘𝑀)𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   × cxp 5036   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953  ℝ⁺crp 11708  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  Bndcbnd 32736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-bnd 32748

This theorem is referenced by:  ssbnd  32757  prdsbnd2  32764