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Theorem blbnd 31565
Description: A ball is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
blbnd  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )

Proof of Theorem blbnd
Dummy variables  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  M  e.  ( *Met `  X
) )
2 rexr 9669 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR* )
3 blssm 21213 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y ( ball `  M ) R ) 
C_  X )
42, 3syl3an3 1265 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)
5 xmetres2 21156 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  C_  X
)  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
61, 4, 5syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
76adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
8 rzal 3875 . . . 4  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =  (/)  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
98adantl 464 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  A. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
10 isbndx 31560 . . 3  |-  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  <-> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  A. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
117, 9, 10sylanbrc 662 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =  (/) )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
126adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
131adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  M  e.  ( *Met `  X ) )
14 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  X )
15 simpl3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR )
16 xbln0 21209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/)  <->  0  <  R ) )
172, 16syl3an3 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) 
<->  0  <  R ) )
1817biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
0  <  R )
1915, 18elrpd 11301 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR+ )
20 blcntr 21208 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR+ )  ->  Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) )
2113, 14, 19, 20syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( Y
( ball `  M ) R ) )
2214, 21elind 3627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2315rexrd 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  R  e.  RR* )
24 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  =  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
2524blres 21226 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
2613, 22, 23, 25syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
27 inidm 3648 . . . . . 6  |-  ( ( Y ( ball `  M
) R )  i^i  ( Y ( ball `  M ) R ) )  =  ( Y ( ball `  M
) R )
2826, 27syl6req 2460 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( Y ( ball `  M ) R )  =  ( Y (
ball `  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) ) ) R ) )
29 rspceov 6317 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  ( Y ( ball `  M
) R )  /\  R  e.  RR+  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( Y ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) R ) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
3021, 19, 28, 29syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  ( Y ( ball `  M
) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) )
31 isbnd2 31561 . . . 4  |-  ( ( ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  <->  ( ( M  |`  ( ( Y ( ball `  M
) R )  X.  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )  e.  ( *Met `  ( Y ( ball `  M
) R ) )  /\  E. x  e.  ( Y ( ball `  M ) R ) E. r  e.  RR+  ( Y ( ball `  M
) R )  =  ( x ( ball `  ( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) ) ) r ) ) )
3212, 30, 31sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) )  /\  ( Y ( ball `  M
) R )  =/=  (/) ) )
3332simpld 457 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( *Met `  X
)  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  /\  ( Y (
ball `  M ) R )  =/=  (/) )  -> 
( M  |`  (
( Y ( ball `  M ) R )  X.  ( Y (
ball `  M ) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )
3411, 33pm2.61dane 2721 1  |-  ( ( M  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  e.  X  /\  R  e.  RR )  ->  ( M  |`  ( ( Y (
ball `  M ) R )  X.  ( Y ( ball `  M
) R ) ) )  e.  ( Bnd `  ( Y ( ball `  M ) R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755    i^i cin 3413    C_ wss 3414   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    X. cxp 4821    |` cres 4825   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   RR*cxr 9657    < clt 9658   RR+crp 11265   *Metcxmt 18723   ballcbl 18725   Bndcbnd 31545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-bnd 31557
This theorem is referenced by:  ssbnd  31566  prdsbnd2  31573
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