MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem5 25648
Description: Lemma for axcont 25656. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑥,𝑇,𝑖,𝑡   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem5
StepHypRef Expression
1 axcontlem5.1 . . . . . 6 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2 axcontlem5.2 . . . . . 6 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
31, 2axcontlem2 25645 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
4 f1of 6050 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
65ffvelrnda 6267 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → (𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞))
7 eleq1 2676 . . 3 ((𝐹𝑃) = 𝑇 → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
86, 7syl5ibcom 234 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
9 simpl 472 . . 3 ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
109a1i 11 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
11 f1ofn 6051 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹 Fn 𝐷)
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹 Fn 𝐷)
13 fnbrfvb 6146 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐷𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
1412, 13sylan 487 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
15143adant3 1074 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
16 eleq1 2676 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (𝑥𝐷𝑃𝐷))
17 fveq1 6102 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → (𝑥𝑖) = (𝑃𝑖))
1817eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))
1918ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))
2019anbi2d 736 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))))
2116, 20anbi12d 743 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))))
22 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
23 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
2423oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)))
25 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝑈𝑖)) = (𝑇 · (𝑈𝑖)))
2624, 25oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑇 → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))
2726eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
2827ralbidv 2969 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
2922, 28anbi12d 743 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3029anbi2d 736 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
31 anass 679 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))))
32 anidm 674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
3332anbi2i 726 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) ↔ (𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
3431, 33bitr2i 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
3534anbi1i 727 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
36 anass 679 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
37 anass 679 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3835, 36, 373bitr3i 289 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3930, 38syl6bb 275 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
4021, 39, 2brabg 4919 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
4140bianabs 920 . . . . 5 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
42413adant1 1072 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
4315, 42bitrd 267 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
44433expia 1259 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
458, 10, 44pm5.21ndd 368 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  cop 4131   class class class wbr 4583  {copab 4642   Fn wfn 5799  wf 5800  1-1-ontowf1o 5803  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  cmin 10145  cn 10897  [,)cico 12048  ...cfz 12197  𝔼cee 25568   Btwn cbtwn 25569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-ee 25571  df-btwn 25572
This theorem is referenced by:  axcontlem6  25649
  Copyright terms: Public domain W3C validator