Theorem alephgeom 8788

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aleph0 8772	. . 3 ⊢ (ℵ‘∅) = ω
2		0ss 3924	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
3		0elon 5695	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ On
4		alephord3 8784	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
5	3, 4	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ⊆ 𝐴 ↔ (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴)))
6	2, 5	mpbii 222	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (ℵ‘∅) ⊆ (ℵ‘𝐴))
7	1, 6	syl5eqssr 3613	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
8		peano1 6977	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ ω
9		ordom 6966	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
10		ord0 5694	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ∅
11		ordtri1 5673	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord ∅) → (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . . . 7 ⊢ (ω ⊆ ∅ ↔ ¬ ∅ ∈ ω)
13	12	con2bii 346	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ ω ↔ ¬ ω ⊆ ∅)
14	8, 13	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ¬ ω ⊆ ∅
15		ndmfv 6128	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ℵ‘𝐴) = ∅)
16	15	sseq2d 3596	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) ↔ ω ⊆ ∅))
17	14, 16	mtbiri 316	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom ℵ → ¬ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))
18	17	con4i 112	. . 3 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ dom ℵ)
19		alephfnon 8771	. . . 4 ⊢ ℵ Fn On
20		fndm 5904	. . . 4 ⊢ (ℵ Fn On → dom ℵ = On)
21	19, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom ℵ = On
22	18, 21	syl6eleq 2698	. 2 ⊢ (ω ⊆ (ℵ‘𝐴) → 𝐴 ∈ On)
23	7, 22	impbii 198	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ ω ⊆ (ℵ‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  ωcom 6957  ℵcale 8645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-har 8346  df-card 8648  df-aleph 8649

This theorem is referenced by:  alephislim  8789  cardalephex  8796  isinfcard  8798  alephval3  8816  alephval2  9273  alephadd  9278  alephmul  9279  alephexp1  9280  alephsuc3  9281  alephexp2  9282  alephreg  9283  pwcfsdom  9284  cfpwsdom  9285  gchaleph  9372  gchaleph2  9373