MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Unicode version

Theorem alephgeom 8248
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 8232 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3663 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4768 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 8244 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 665 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3398 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 6494 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 6484 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4767 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4748 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5711 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3381 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 303 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 130 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 8231 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5507 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 5 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2531 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 188 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   (/)c0 3634   Ord word 4714   Oncon0 4715   dom cdm 4836    Fn wfn 5410   ` cfv 5415   omcom 6475   alephcale 8102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-oi 7720  df-har 7769  df-card 8105  df-aleph 8106
This theorem is referenced by:  alephislim  8249  cardalephex  8256  isinfcard  8258  alephval3  8276  alephval2  8732  alephadd  8737  alephmul  8738  alephexp1  8739  alephsuc3  8740  alephexp2  8741  alephreg  8742  pwcfsdom  8743  cfpwsdom  8744  gchaleph  8834  gchaleph2  8835
  Copyright terms: Public domain W3C validator