MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Unicode version

Theorem alephgeom 7919
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 7903 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3616 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4594 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 7915 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 652 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 203 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3353 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 4823 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 4813 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4593 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4574 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 323 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 200 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5714 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3336 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 124 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 7902 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5503 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 8 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2494 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 181 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3280   (/)c0 3588   Ord word 4540   Oncon0 4541   omcom 4804   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   alephcale 7779
This theorem is referenced by:  alephislim  7920  cardalephex  7927  isinfcard  7929  alephval3  7947  alephval2  8403  alephadd  8408  alephmul  8409  alephexp1  8410  alephsuc3  8411  alephexp2  8412  alephreg  8413  pwcfsdom  8414  cfpwsdom  8415  gchaleph  8506  gchaleph2  8507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-har 7482  df-card 7782  df-aleph 7783
  Copyright terms: Public domain W3C validator