Theorem alephgeom 4947

Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers.

Assertion

Ref	Expression
alephgeom	|- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Proof of Theorem alephgeom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 2353	. . . 4 |- (/) (_ A
2		0elon 3079	. . . . 5 |- (/) e. On
3		alephord3 4943	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ A e. On) -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
4	2, 3	mpan 707	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) (_ A <-> (aleph` (/)) (_ (aleph` A)))
5	1, 4	mpbii 200	. . 3 |- (A e. On -> (aleph` (/)) (_ (aleph` A))
6		aleph0 4928	. . 3 |- (aleph` (/)) = om
7	5, 6	syl5ssr 2157	. 2 |- (A e. On -> om (_ (aleph` A))
8		peano1 3206	. . . . . 6 |- (/) e. om
9		ordom 3198	. . . . . . . 8 |- Ord om
10		ord0 3078	. . . . . . . 8 |- Ord (/)
11		ordtri1 3037	. . . . . . . 8 |- ((Ord om /\ Ord (/)) -> (om (_ (/) <-> -. (/) e. om))
12	9, 10, 11	mp2an 709	. . . . . . 7 |- (om (_ (/) <-> -. (/) e. om)
13	12	con2bii 228	. . . . . 6 |- ((/) e. om <-> -. om (_ (/))
14	8, 13	mpbi 196	. . . . 5 |- -. om (_ (/)
15		ndmfv 3802	. . . . . 6 |- (-. A e. dom aleph -> (aleph` A) = (/))
16	15	sseq2d 2140	. . . . 5 |- (-. A e. dom aleph -> (om (_ (aleph` A) <-> om (_ (/)))
17	14, 16	mtbiri 729	. . . 4 |- (-. A e. dom aleph -> -. om (_ (aleph` A))
18	17	a3i 77	. . 3 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. dom aleph)
19		alephfnon 4927	. . . 4 |- aleph Fn On
20		fndm 3644	. . . 4 |- (aleph Fn On -> dom aleph = On)
21	19, 20	ax-mp 7	. . 3 |- dom aleph = On
22	18, 21	syl6eleq 1605	. 2 |- (om (_ (aleph` A) -> A e. On)
23	7, 22	impbii 164	1 |- (A e. On <-> om (_ (aleph` A))

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 153   = wceq 997   e. wcel 999   (_ wss 2098  (/)c0 2331  Ord word 3004  Oncon0 3005  omcom 3188  dom cdm 3227   Fn wfn 3234  ` cfv 3239  alephcale 4876

This theorem is referenced by:  alephislim 4948  cardalephex 4951  isinfcard 4952  alephval2 4967  alephval3 4968  alephadd 7674  alephmul 7675  alephexp1 7676  alephsuc3 7677  alephexp2 7678

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-reg 4653  ax-inf2 4687  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-er 4319  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-fin 4432  df-card 4878  df-aleph 4879

Copyright terms: Public domain