MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Unicode version

Theorem alephgeom 8459
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 8443 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3814 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 4931 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 8455 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3549 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 6697 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 6687 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 4930 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 4911 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5888 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3532 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 303 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 130 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 8442 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5678 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 5 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2565 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 188 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   (/)c0 3785   Ord word 4877   Oncon0 4878   dom cdm 4999    Fn wfn 5581   ` cfv 5586   omcom 6678   alephcale 8313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-oi 7931  df-har 7980  df-card 8316  df-aleph 8317
This theorem is referenced by:  alephislim  8460  cardalephex  8467  isinfcard  8469  alephval3  8487  alephval2  8943  alephadd  8948  alephmul  8949  alephexp1  8950  alephsuc3  8951  alephexp2  8952  alephreg  8953  pwcfsdom  8954  cfpwsdom  8955  gchaleph  9045  gchaleph2  9046
  Copyright terms: Public domain W3C validator