MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  alephgeom Structured version   Unicode version

Theorem alephgeom 8494
Description: Every aleph is greater than or equal to the set of natural numbers. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
alephgeom  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )

Proof of Theorem alephgeom
StepHypRef Expression
1 aleph0 8478 . . 3  |-  ( aleph `  (/) )  =  om
2 0ss 3767 . . . 4  |-  (/)  C_  A
3 0elon 5462 . . . . 5  |-  (/)  e.  On
4 alephord3 8490 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
53, 4mpan 668 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( (/)  C_  A  <->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A )
) )
62, 5mpbii 211 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( aleph `  (/) )  C_  ( aleph `  A ) )
71, 6syl5eqssr 3486 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
8 peano1 6702 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
9 ordom 6691 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
10 ord0 5461 . . . . . . . 8  |-  Ord  (/)
11 ordtri1 5442 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  Ord  (/) )  ->  ( om  C_  (/) 
<->  -.  (/)  e.  om )
)
129, 10, 11mp2an 670 . . . . . . 7  |-  ( om  C_  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
1312con2bii 330 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  om  C_  (/) )
148, 13mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  om  C_  (/)
15 ndmfv 5872 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
1615sseq2d 3469 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( om  C_  ( aleph `  A
)  <->  om  C_  (/) ) )
1714, 16mtbiri 301 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  -.  om  C_  ( aleph `  A )
)
1817con4i 130 . . 3  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  dom  aleph )
19 alephfnon 8477 . . . 4  |-  aleph  Fn  On
20 fndm 5660 . . . 4  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
2119, 20ax-mp 5 . . 3  |-  dom  aleph  =  On
2218, 21syl6eleq 2500 . 2  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  A  e.  On )
237, 22impbii 188 1  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3413   (/)c0 3737   dom cdm 4822   Ord word 5408   Oncon0 5409    Fn wfn 5563   ` cfv 5568   omcom 6682   alephcale 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-oi 7968  df-har 8017  df-card 8351  df-aleph 8352
This theorem is referenced by:  alephislim  8495  cardalephex  8502  isinfcard  8504  alephval3  8522  alephval2  8978  alephadd  8983  alephmul  8984  alephexp1  8985  alephsuc3  8986  alephexp2  8987  alephreg  8988  pwcfsdom  8989  cfpwsdom  8990  gchaleph  9078  gchaleph2  9079
  Copyright terms: Public domain W3C validator