Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acncc 9145
 Description: An ax-cc 9140 equivalent: every set has choice sets of length ω. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc AC ω = V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3176 . . . . 5 𝑥 ∈ V
2 omex 8423 . . . . 5 ω ∈ V
3 isacn 8750 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ ω ∈ V) → (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
41, 2, 3mp2an 704 . . . 4 (𝑥AC ω ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω)∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
5 axcc2 9142 . . . . 5 𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
6 elmapi 7765 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → 𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
7 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}))
8 eldifsni 4261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝑥 ∖ {∅}) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶(𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
106, 9sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑓𝑦) ≠ ∅)
11 id 22 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) ∧ 𝑦 ∈ ω) → (((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1312ralimdva 2945 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → (∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1413adantld 482 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → ((𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∀𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
1514eximdv 1833 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → (∃𝑔(𝑔 Fn ω ∧ ∀𝑦 ∈ ω ((𝑓𝑦) ≠ ∅ → (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦)))
165, 15mpi 20 . . . 4 (𝑓 ∈ ((𝒫 𝑥 ∖ {∅}) ↑𝑚 ω) → ∃𝑔𝑦 ∈ ω (𝑔𝑦) ∈ (𝑓𝑦))
174, 16mprgbir 2911 . . 3 𝑥AC ω
1817, 12th 253 . 2 (𝑥AC ω ↔ 𝑥 ∈ V)
1918eqriv 2607 1 AC ω = V
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ↑𝑚 cmap 7744  AC wacn 8647 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-acn 8651 This theorem is referenced by:  iunctb  9275
 Copyright terms: Public domain W3C validator