Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb 9275
 Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 9276). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2 simpl 472 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3 reldom 7847 . . . . . . . 8 Rel ≼
43brrelexi 5082 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
6 ovex 6577 . . . . . . 7 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
76rgenw 2908 . . . . . 6 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
8 iunexg 7035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
95, 7, 8sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
10 acncc 9145 . . . . 5 AC ω = V
119, 10syl6eleqr 2699 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω)
12 acndom 8757 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ( 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴))
132, 11, 12sylc 63 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴)
14 simpr 476 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
15 omex 8423 . . . . . 6 ω ∈ V
16 xpdom1g 7942 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
1715, 2, 16sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
18 xpomen 8721 . . . . 5 (ω × ω) ≈ ω
19 domentr 7901 . . . . 5 (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
2017, 18, 19sylancl 693 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
213brrelexi 5082 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2221ralimi 2936 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
23 iunexg 7035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
244, 22, 23syl2an 493 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
25 omelon 8426 . . . . . 6 ω ∈ On
26 onenon 8658 . . . . . 6 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ω ∈ dom card
28 numacn 8755 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
2924, 27, 28mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
30 acndom2 8760 . . . 4 ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
3120, 29, 30sylc 63 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
321, 13, 14, 31iundomg 9242 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
33 domtr 7895 . 2 (( 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
3432, 20, 33syl2anc 691 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {csn 4125  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  Oncon0 5640  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ↑𝑚 cmap 7744   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  cardccrd 8644  AC wacn 8647 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651 This theorem is referenced by:  unictb  9276  heiborlem3  32782
 Copyright terms: Public domain W3C validator