MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acncc Structured version   Unicode version

Theorem acncc 8868
Description: An ax-cc 8863 equivalent: every set has choice sets of length  om. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
acncc  |- AC  om  =  _V

Proof of Theorem acncc
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3090 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
2 omex 8148 . . . . 5  |-  om  e.  _V
3 isacn 8473 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  om  e.  _V )  -> 
( x  e. AC  om  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om ) E. g A. y  e.  om  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
41, 2, 3mp2an 676 . . . 4  |-  ( x  e. AC  om  <->  A. f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om ) E. g A. y  e.  om  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )
5 axcc2 8865 . . . . 5  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. y  e.  om  ( ( f `  y )  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
6 elmapi 7501 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  f : om --> ( ~P x  \  { (/) } ) )
7 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e. 
om )  ->  (
f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } ) )
8 eldifsni 4129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  y )  e.  ( ~P x  \  { (/) } )  -> 
( f `  y
)  =/=  (/) )
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om --> ( ~P x  \  { (/) } )  /\  y  e. 
om )  ->  (
f `  y )  =/=  (/) )
106, 9sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( f `  y )  =/=  (/) )
11 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) )  ->  (
( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )
1210, 11syl5com 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/)
} )  ^m  om )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( f `  y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1312ralimdva 2840 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( A. y  e. 
om  ( ( f `
 y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )  ->  A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1413adantld 468 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( ( g  Fn 
om  /\  A. y  e.  om  ( ( f `
 y )  =/=  (/)  ->  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )  ->  A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
1514eximdv 1757 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  ( E. g ( g  Fn  om  /\  A. y  e.  om  (
( f `  y
)  =/=  (/)  ->  (
g `  y )  e.  ( f `  y
) ) )  ->  E. g A. y  e. 
om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) ) )
165, 15mpi 21 . . . 4  |-  ( f  e.  ( ( ~P x  \  { (/) } )  ^m  om )  ->  E. g A. y  e.  om  ( g `  y )  e.  ( f `  y ) )
174, 16mprgbir 2796 . . 3  |-  x  e. AC  om
1817, 12th 242 . 2  |-  ( x  e. AC  om  <->  x  e.  _V )
1918eqriv 2425 1  |- AC  om  =  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706    ^m cmap 7480  AC wacn 8371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-acn 8375
This theorem is referenced by:  iunctb  8997
  Copyright terms: Public domain W3C validator