Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3spthd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3spthd 41343
 Description: A simple path of length 3 from one vertex to another, different vertex via a third vertex. (Contributed by AV, 10-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
31wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
31wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
31wlkd.s (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
31wlkd.n (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
31wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
31wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3trld.n (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
3spthd.n (𝜑𝐴𝐷)
Assertion
Ref Expression
3spthd (𝜑𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 3spthd
StepHypRef Expression
1 31wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩
2 31wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾𝐿”⟩
3 31wlkd.s . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)))
4 31wlkd.n . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
5 31wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾) ∧ {𝐶, 𝐷} ⊆ (𝐼𝐿)))
6 31wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 31wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8 3trld.n . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐾𝐽𝐿𝐾𝐿))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 83trld 41339 . 2 (𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
10 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
11 3spthd.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
12 df-3an 1033 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ↔ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ 𝐴𝐷))
1312simplbi2 653 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → (𝐴𝐷 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷)))
14133ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷) → (𝐴𝐷 → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷)))
1511, 14mpan9 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷))
16 simpr2 1061 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → (𝐵𝐶𝐵𝐷))
17 simpr3 1062 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → 𝐶𝐷)
1815, 16, 173jca 1235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
194, 18mpdan 699 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷))
20 funcnvs4 13510 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑉)) ∧ ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ 𝐶𝐷)) → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
213, 19, 20syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
231a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2423cnveqd 5220 . . . . 5 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩)
2524funeqd 5825 . . . 4 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → (Fun 𝑃 ↔ Fun ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩))
2622, 25mpbird 246 . . 3 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → Fun 𝑃)
27 trlis1wlk 40905 . . . . . 6 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
28 wlkv 40815 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
2927, 28syl 17 . . . . 5 (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3029adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
31 issPth 40930 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
3230, 31syl 17 . . 3 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
3310, 26, 32mpbir2and 959 . 2 ((𝜑𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃) → 𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
349, 33mpdan 699 1 (𝜑𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  ⟨“cs3 13438  ⟨“cs4 13439  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  TrailSctrls 40899  SPathScspths 40920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-s4 13446  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-spths 40924 This theorem is referenced by:  3spthond  41344
 Copyright terms: Public domain W3C validator