MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2halves Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2halves 11137
Description: Two halves make a whole. (Contributed by NM, 11-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
2halves (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)

Proof of Theorem 2halves
StepHypRef Expression
1 2times 11022 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
21oveq1d 6564 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = ((𝐴 + 𝐴) / 2))
3 2cn 10968 . . 3 2 ∈ ℂ
4 2ne0 10990 . . 3 2 ≠ 0
5 divcan3 10590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
63, 4, 5mp3an23 1408 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴)
7 2cnne0 11119 . . . 4 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
8 divdir 10589 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
97, 8mp3an3 1405 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
109anidms 675 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐴) / 2) = ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)))
112, 6, 103eqtr3rd 2653 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) + (𝐴 / 2)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  2c2 10947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-2 10956
This theorem is referenced by:  halfpos  11139  lt2halves  11144  2halvesd  11155  pcoass  22632  pidiv2halves  24023  sincos4thpi  24069  efeq1  24079  cxpsqrt  24249  dvsqrt  24283  dvcnsqrt  24285  subfacval3  30425  dnibndlem5  31642  dnibndlem10  31647  infleinflem1  38527  smflimlem4  39660
  Copyright terms: Public domain W3C validator