Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlkiswwlks2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkiswwlks2 41072
 Description: A walk as word corresponds to the sequence of vertices in a walk in a simple pseudograph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jul-2018.) (Revised by AV, 10-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
1wlkiswwlks2 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺   𝑃,𝑓

Proof of Theorem 1wlkiswwlks2
Dummy variables 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wwlkbp 41043 . . 3 (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
3 eqid 2610 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
41, 3iswwlks 41039 . . . 4 (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) ↔ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
5 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V
6 mptexg 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^((#‘𝑃) − 1)) ∈ V → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
75, 6mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ V)
8 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → 𝐺 ∈ USPGraph )
9 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
10 hashge1 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → 1 ≤ (#‘𝑃))
1110ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → 1 ≤ (#‘𝑃))
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → 1 ≤ (#‘𝑃))
138, 9, 123jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
1413adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)))
15 edgaval 25794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐺 ∈ USPGraph → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
1918eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ({(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
2019ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
2120biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺)))
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))
23 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
2422, 231wlkiswwlks2lem6 41071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 1 ≤ (#‘𝑃)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ ran (iEdg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
2514, 21, 24sylsyld 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
26 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ↔ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺)))
27 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (#‘𝑓) = (#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))
2827oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0...(#‘𝑓)) = (0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
2928feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺)))
3027oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (0..^(#‘𝑓)) = (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})))))
31 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (𝑓𝑖) = ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖))
3231fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = ((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)))
3332eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3430, 33raleqbidv 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
3526, 29, 343anbi123d 1391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
3635imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → ((∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))})) ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘(𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))))((iEdg‘𝐺)‘((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))‘𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
3825, 37mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) ∧ 𝑓 = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)) ↦ ((iEdg‘𝐺)‘{(𝑃𝑥), (𝑃‘(𝑥 + 1))}))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
397, 38spcimedv 3265 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph )) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4039ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
4140com23 84 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
42413impia 1253 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4342expd 451 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))))
4443impcom 445 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
4544imp 444 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))}))
46 uspgrupgr 40406 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ UPGraph )
4746adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → 𝐺 ∈ UPGraph )
48 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
4948a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → 𝑓 ∈ V)
50 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
521, 23upgriswlk 40849 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑓 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
5347, 49, 51, 52syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ (𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
5453exbidv 1837 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → (∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ∃𝑓(𝑓 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) ∧ 𝑃:(0...(#‘𝑓))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑓))((iEdg‘𝐺)‘(𝑓𝑖)) = {(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))})))
5545, 54mpbird 246 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ 𝐺 ∈ USPGraph ) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃)
5655ex 449 . . . . 5 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
5756ex 449 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃 ≠ ∅ ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃)))
584, 57syl5bi 231 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃)))
592, 58mpcom 37 . 2 (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ USPGraph → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
6059com12 32 1 (𝐺 ∈ USPGraph → (𝑃 ∈ (WWalkS‘𝐺) → ∃𝑓 𝑓(1Walks‘𝐺)𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UPGraph cupgr 25747  Edgcedga 25792   USPGraph cuspgr 40378  1Walksc1wlks 40796  WWalkScwwlks 41028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wwlks 41033 This theorem is referenced by:  1wlkiswwlks  41073  1wlklnwwlkln2  41080
 Copyright terms: Public domain W3C validator