Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlk2v2elem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlk2v2elem2 41323
 Description: Lemma 2 for 1wlk2v2e 41324: The values of 𝐼 after 𝐹 are edges between two vertices enumerated by 𝑃. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlk2v2e.i 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
1wlk2v2e.f 𝐹 = ⟨“00”⟩
1wlk2v2e.x 𝑋 ∈ V
1wlk2v2e.y 𝑌 ∈ V
1wlk2v2e.p 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
Assertion
Ref Expression
1wlk2v2elem2 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐼   𝑃,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem 1wlk2v2elem2
StepHypRef Expression
1 1wlk2v2e.f . . . . . . 7 𝐹 = ⟨“00”⟩
21fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝐹‘0) = (⟨“00”⟩‘0)
3 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
4 s2fv0 13482 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘0) = 0
62, 5eqtri 2632 . . . . 5 (𝐹‘0) = 0
76fveq2i 6106 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘0)
8 1wlk2v2e.i . . . . . 6 𝐼 = ⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩
98fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐼‘0) = (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0)
10 prex 4836 . . . . . 6 {𝑋, 𝑌} ∈ V
11 s1fv 13243 . . . . . 6 ({𝑋, 𝑌} ∈ V → (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌})
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 (⟨“{𝑋, 𝑌}”⟩‘0) = {𝑋, 𝑌}
139, 12eqtri 2632 . . . 4 (𝐼‘0) = {𝑋, 𝑌}
14 1wlk2v2e.p . . . . . . . 8 𝑃 = ⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩
1514fveq1i 6104 . . . . . . 7 (𝑃‘0) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0)
16 1wlk2v2e.x . . . . . . . 8 𝑋 ∈ V
17 s3fv0 13486 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘0) = 𝑋
1915, 18eqtri 2632 . . . . . 6 (𝑃‘0) = 𝑋
2014fveq1i 6104 . . . . . . 7 (𝑃‘1) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1)
21 1wlk2v2e.y . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
22 s3fv1 13487 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘1) = 𝑌
2420, 23eqtri 2632 . . . . . 6 (𝑃‘1) = 𝑌
2519, 24preq12i 4217 . . . . 5 {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} = {𝑋, 𝑌}
2625eqcomi 2619 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
277, 13, 263eqtri 2636 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)}
281fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝐹‘1) = (⟨“00”⟩‘1)
29 s2fv1 13483 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
303, 29ax-mp 5 . . . . . 6 (⟨“00”⟩‘1) = 0
3128, 30eqtri 2632 . . . . 5 (𝐹‘1) = 0
3231fveq2i 6106 . . . 4 (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘0)
33 prcom 4211 . . . . 5 {𝑋, 𝑌} = {𝑌, 𝑋}
3414fveq1i 6104 . . . . . . . 8 (𝑃‘2) = (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2)
35 s3fv2 13488 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ V → (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋)
3616, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 (⟨“𝑋𝑌𝑋”⟩‘2) = 𝑋
3734, 36eqtri 2632 . . . . . . 7 (𝑃‘2) = 𝑋
3824, 37preq12i 4217 . . . . . 6 {(𝑃‘1), (𝑃‘2)} = {𝑌, 𝑋}
3938eqcomi 2619 . . . . 5 {𝑌, 𝑋} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4033, 39eqtri 2632 . . . 4 {𝑋, 𝑌} = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
4132, 13, 403eqtri 2636 . . 3 (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}
42 2wlklem 26094 . . 3 (∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ((𝐼‘(𝐹‘0)) = {(𝑃‘0), (𝑃‘1)} ∧ (𝐼‘(𝐹‘1)) = {(𝑃‘1), (𝑃‘2)}))
4327, 41, 42mpbir2an 957 . 2 𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
44 s2cli 13475 . . . . . . 7 ⟨“00”⟩ ∈ Word V
451, 44eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐹 ∈ Word V
46 wrddm 13167 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word V → dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹)))
4745, 46ax-mp 5 . . . . 5 dom 𝐹 = (0..^(#‘𝐹))
4847eqcomi 2619 . . . 4 (0..^(#‘𝐹)) = dom 𝐹
491dmeqi 5247 . . . 4 dom 𝐹 = dom ⟨“00”⟩
50 s2dm 13485 . . . 4 dom ⟨“00”⟩ = {0, 1}
5148, 49, 503eqtri 2636 . . 3 (0..^(#‘𝐹)) = {0, 1}
5251raleqi 3119 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1} (𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
5343, 52mpbir 220 1 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝐼‘(𝐹𝑘)) = {(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149  ⟨“cs2 13437  ⟨“cs3 13438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445 This theorem is referenced by:  1wlk2v2e  41324
 Copyright terms: Public domain W3C validator