Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  0even Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0even 41721
 Description: 0 is an even integer. (Contributed by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
2zrng.e 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
Assertion
Ref Expression
0even 0 ∈ 𝐸
Distinct variable group:   𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem 0even
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . 3 0 ∈ ℤ
2 2cn 10968 . . . 4 2 ∈ ℂ
3 0zd 11266 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 ∈ ℤ)
4 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (2 · 𝑥) = (2 · 0))
54eqeq2d 2620 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
65adantl 481 . . . . 5 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 = 0) → (0 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 0)))
7 mul01 10094 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ → (2 · 0) = 0)
87eqcomd 2616 . . . . 5 (2 ∈ ℂ → 0 = (2 · 0))
93, 6, 8rspcedvd 3289 . . . 4 (2 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥))
102, 9ax-mp 5 . . 3 𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)
11 eqeq1 2614 . . . . 5 (𝑧 = 0 → (𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ 0 = (2 · 𝑥)))
1211rexbidv 3034 . . . 4 (𝑧 = 0 → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
1312elrab 3331 . . 3 (0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)} ↔ (0 ∈ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ 0 = (2 · 𝑥)))
141, 10, 13mpbir2an 957 . 2 0 ∈ {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
15 2zrng.e . 2 𝐸 = {𝑧 ∈ ℤ ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ 𝑧 = (2 · 𝑥)}
1614, 15eleqtrri 2687 1 0 ∈ 𝐸
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820  2c2 10947  ℤcz 11254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-neg 10148  df-2 10956  df-z 11255 This theorem is referenced by:  2zlidl  41724  2zrng0  41728  2zrngamnd  41731  2zrngacmnd  41732  2zrngmmgm  41736
 Copyright terms: Public domain W3C validator