Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidldomnnring Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidldomnnring 41720
 Description: A (left) ideal of a domain which is neither the zero ideal nor the unit ideal is not a unital ring. (Contributed by AV, 18-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
zlidlring.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
zlidlring.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
lidldomnnring ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)

Proof of Theorem lidldomnnring
StepHypRef Expression
1 neanior 2874 . . . . 5 ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
21biimpi 205 . . . 4 ((𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
323adant1 1072 . . 3 ((𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
43adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵))
5 df-nel 2783 . . 3 (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ 𝐼 ∈ Ring)
6 lidlabl.l . . . . . 6 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
7 lidlabl.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
8 zlidlring.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
9 zlidlring.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
106, 7, 8, 9uzlidlring 41719 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑈𝐿) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
11103ad2antr1 1219 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (𝐼 ∈ Ring ↔ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
1211notbid 307 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (¬ 𝐼 ∈ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
135, 12syl5bb 271 . 2 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → (𝐼 ∉ Ring ↔ ¬ (𝑈 = { 0 } ∨ 𝑈 = 𝐵)))
144, 13mpbird 246 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑈𝐿𝑈 ≠ { 0 } ∧ 𝑈𝐵)) → 𝐼 ∉ Ring)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  0gc0g 15923  Ringcrg 18370  LIdealclidl 18991  Domncdomn 19101 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-nzr 19079  df-domn 19105  df-rng0 41665 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator