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Theorem zorn2lem7 9207
 Description: Lemma for zorn2 9211. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.7 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑎,𝑏,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑎,𝑏,𝑓,𝑔,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶   𝑥,𝐻,𝑢,𝑣,𝑓,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔,𝑠,𝑟,𝑎,𝑏)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔,𝑠,𝑟)   𝐹(𝑤)   𝐻(𝑦,𝑧,𝑤,𝑔)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 8741 . . 3 (𝐴 ∈ dom card ↔ ∃𝑤 𝑤 We 𝐴)
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
52, 3, 4zorn2lem4 9204 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → ∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅)
6 imaeq2 5381 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
76raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧))
87rabbidv 3164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧})
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑦)𝑔𝑅𝑧}
108, 4, 93eqtr4g 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝐷 = 𝐻)
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 = ∅ ↔ 𝐻 = ∅))
1211onminex 6899 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
13 df-ne 2782 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ≠ ∅ ↔ ¬ 𝐻 = ∅)
1413ralbii 2963 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅)
1514anbi2i 726 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1615rexbii 3023 . . . . . . . . 9 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) ↔ ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 ¬ 𝐻 = ∅))
1712, 16sylibr 223 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On 𝐷 = ∅ → ∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))
182, 3, 4, 9zorn2lem5 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴)
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
202, 3, 4, 9zorn2lem6 9206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → 𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2119, 20jcad 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
222tfr1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 Fn On
23 fnfun 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn On → Fun 𝐹)
24 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
2524funimaex 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Fun 𝐹 → (𝐹𝑥) ∈ V)
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹𝑥) ∈ V
27 sseq1 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑠𝐴 ↔ (𝐹𝑥) ⊆ 𝐴))
28 soeq2 4979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (𝑅 Or 𝑠𝑅 Or (𝐹𝑥)))
2927, 28anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → ((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) ↔ ((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥))))
30 raleq 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∀𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3130rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3229, 31imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = (𝐹𝑥) → (((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) ↔ (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))))
3326, 32spcv 3272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (((𝐹𝑥) ⊆ 𝐴𝑅 Or (𝐹𝑥)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3421, 33sylan9 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3534adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)))
3635imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))
37 noel 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 𝑏 ∈ ∅
3818sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝐴))
39 3anass 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴) ↔ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)))
40 potr 4971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴𝑎𝐴𝑏𝐴)) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4139, 40sylan2br 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → ((𝑟𝑅𝑎𝑎𝑅𝑏) → 𝑟𝑅𝑏))
4241expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏)))
4342imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟𝑅𝑎𝑟𝑅𝑏))
44 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑟 = 𝑎 → (𝑟𝑅𝑏𝑎𝑅𝑏))
4544biimprcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 = 𝑎𝑟𝑅𝑏))
4743, 46jaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑟𝐴 ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏))
4847exp42 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑟𝐴 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
4938, 48sylan9r 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5049com24 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝑅𝑏 → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5150com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (𝑎𝑅𝑏 → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))))
5251imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → ((𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑟𝑅𝑏)))
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → ((𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑟 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑟𝑅𝑏)))
5453ralimdv2 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏))
55 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑟 = 𝑔 → (𝑟𝑅𝑏𝑔𝑅𝑏))
5655cbvralv 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏)
57 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑧 = 𝑏 → (𝑔𝑅𝑧𝑔𝑅𝑏))
5857ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑧 = 𝑏 → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧 ↔ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
5958elrab 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ (𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏))
604eqeq1i 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝐷 = ∅ ↔ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅)
61 eleq2 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ({𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6260, 61sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝐷 = ∅ → (𝑏 ∈ {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧} ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6359, 62syl5bbr 273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) ↔ 𝑏 ∈ ∅))
6463biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐷 = ∅ → ((𝑏𝐴 ∧ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏) → 𝑏 ∈ ∅))
6564expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6656, 65syl5bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)𝑟𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
6754, 66sylan9r 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) ∧ 𝑎𝑅𝑏)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))
6867exp32 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (𝑎𝑅𝑏 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → 𝑏 ∈ ∅))))
6968com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴)) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))))
7069imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑎𝑅𝑏𝑏 ∈ ∅))
7137, 70mtoi 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) ∧ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) ∧ (𝑎𝐴𝑏𝐴))) ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)
7271exp42 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → ((𝑎𝐴𝑏𝐴) → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7372exp4a 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (𝑏𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7473com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 = ∅ ∧ 𝑏𝐴) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7574ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑏𝐴 → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7675com4r 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → (𝑏𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))))
7776pm2.43a 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏𝐴 → (𝐷 = ∅ → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅)) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))))
7877impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏𝐴 → ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
7978com4l 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8079impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → (𝑏𝐴 → ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8180ralrimdv 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ((𝑎𝐴 ∧ ∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎)) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8281expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (𝑎𝐴 → (∀𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∀𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
8382reximdvai 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 = ∅ ∧ (𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8483exp32 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 = ∅ → (𝑅 Po 𝐴 → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8685adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → (((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
8786imp32 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → (∃𝑎𝐴𝑟 ∈ (𝐹𝑥)(𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ (𝐷 = ∅ ∧ ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
8988exp45 640 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → (𝐷 = ∅ → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9089com23 84 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ((𝑤 We 𝐴𝑥 ∈ On) → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9190expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → (𝐷 = ∅ → (∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅ → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))))
9291imp4a 612 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9392com3l 87 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ On → ((𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)))
9493rexlimiv 3009 . . . . . . . 8 (∃𝑥 ∈ On (𝐷 = ∅ ∧ ∀𝑦𝑥 𝐻 ≠ ∅) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9695adantlr 747 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9796pm2.43i 50 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) ∧ 𝑤 We 𝐴) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
9897expcom 450 . . . 4 (𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
9998exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑤 𝑤 We 𝐴 → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1001, 99sylbi 206 . 2 (𝐴 ∈ dom card → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏))
1011003impib 1254 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀𝑠((𝑠𝐴𝑅 Or 𝑠) → ∃𝑎𝐴𝑟𝑠 (𝑟𝑅𝑎𝑟 = 𝑎))) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴 ¬ 𝑎𝑅𝑏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031  ∀wal 1473   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   Po wpo 4957   Or wor 4958   We wwe 4996  dom cdm 5038  ran crn 5039   “ cima 5041  Oncon0 5640  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ℩crio 6510  recscrecs 7354  cardccrd 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-en 7842  df-card 8648 This theorem is referenced by:  zorn2g  9208
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