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Theorem zorn2lem7 8950
Description: Lemma for zorn2 8954. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Distinct variable groups:    a, b,
f, g, r, s, u, v, w, x, y, z, A    D, a, b, f, u, v, y    F, a, b, f, g, r, s, u, v, x, y, z    R, a, b, f, g, r, s, u, v, w, x, y, z   
v, C    x, H, u, v, f, s, r, a, b
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g, s, r, a, b)    D( x, z, w, g, s, r)    F( w)    H( y, z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 8484 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. w  w  We  A )
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
52, 3, 4zorn2lem4 8947 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  E. x  e.  On  D  =  (/) )
6 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
76raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " y
) g R z ) )
87rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z } )
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
108, 4, 93eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  D  =  H )
1110eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( D  =  (/)  <->  H  =  (/) ) )
1211onminex 6653 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
13 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  =/=  (/)  <->  -.  H  =  (/) )
1413ralbii 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) )
1514anbi2i 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1615rexbii 2881 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1712, 16sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )
182, 3, 4, 9zorn2lem5 8948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( F " x )  C_  A ) )
202, 3, 4, 9zorn2lem6 8949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
2119, 20jcad 542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( F " x
)  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
222tfr1 7133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F  Fn  On
23 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
24 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
2524funimaex 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " x )  e.  _V )
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F
" x )  e. 
_V
27 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
s  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
28 soeq2 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( R  Or  s  <->  R  Or  ( F " x ) ) )
2927, 28anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  <->  ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
30 raleq 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3130rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3229, 31imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  <-> 
( ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) ) )
3326, 32spcv 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( ( ( F " x ) 
C_  A  /\  R  Or  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3421, 33sylan9 669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3534adantld 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3635imp 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) )
37 noel 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  b  e.  (/)
3818sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  r  e.  A
) )
39 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  <->  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )
40 potr 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( r R a  /\  a R b )  ->  r R
b ) )
4139, 40sylan2br 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( ( r R a  /\  a R b )  ->  r R b ) )
4241expcomd 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( a R b  ->  ( r R a  ->  r R
b ) ) )
4342imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r R a  ->  r R b ) )
44 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( r  =  a  ->  (
r R b  <->  a R
b ) )
4544biimprcd 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( a R b  ->  (
r  =  a  -> 
r R b ) )
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r  =  a  ->  r R b ) )
4743, 46jaod 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) )
4847exp42 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( R  Po  A  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
4938, 48sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5049com24 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a R b  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
r  e.  ( F
" x )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5150com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) ) ) )
5251imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) )
5352a2d 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( ( r  e.  ( F " x
)  ->  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  r R
b ) ) )
5453ralimdv2 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. r  e.  ( F " x
) r R b ) )
55 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( r  =  g  ->  (
r R b  <->  g R
b ) )
5655cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  <->  A. g  e.  ( F " x ) g R b )
57 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  =  b  ->  (
g R z  <->  g R
b ) )
5857ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
5958elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
604eqeq1i 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( D  =  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) )
61 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) 
->  ( b  e.  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6260, 61sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6359, 62syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  <->  b  e.  (/) ) )
6463biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  -> 
b  e.  (/) ) )
6564expdimp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R b  ->  b  e.  (/) ) )
6656, 65syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  ->  b  e.  (/) ) )
6754, 66sylan9r 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  /\  ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b ) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) )
6867exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
6968com34 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
7069imp31 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) )
7137, 70mtoi 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  -.  a R b )
7271exp42 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R
b ) ) ) )
7372exp4a 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( b  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7473com34 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7574ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  A  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7675com4r 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
b  e.  A  -> 
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7776pm2.43a 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7877impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  A  ->  (
( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) )
7978com4l 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) ) )
8079impd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) )
8180ralrimdv 2811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8281expd 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
8382reximdvai 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8483exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  =  (/)  ->  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8584com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8685adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8786imp32 440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
8988exp45 625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9089com23 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9190expdimp 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9291imp4a 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9392com3l 83 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  (
( D  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9493rexlimiv 2867 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9695adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9796pm2.43i 48 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
9897expcom 442 . . . 4  |-  ( w  We  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9998exlimiv 1784 . . 3  |-  ( E. w  w  We  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1001, 99sylbi 200 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1011003impib 1229 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Po wpo 4758    Or wor 4759    We wwe 4797   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Oncon0 5430   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   iota_crio 6269  recscrecs 7107   cardccrd 8387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-en 7588  df-card 8391
This theorem is referenced by:  zorn2g  8951
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