MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem7 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zorn2lem7 8932
Description: Lemma for zorn2 8936. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
zorn2lem.4  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
zorn2lem.5  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
zorn2lem.7  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Distinct variable groups:    a, b,
f, g, r, s, u, v, w, x, y, z, A    D, a, b, f, u, v, y    F, a, b, f, g, r, s, u, v, x, y, z    R, a, b, f, g, r, s, u, v, w, x, y, z   
v, C    x, H, u, v, f, s, r, a, b
Allowed substitution hints:    C( x, y, z, w, u, f, g, s, r, a, b)    D( x, z, w, g, s, r)    F( w)    H( y, z, w, g)

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 8466 . . 3  |-  ( A  e.  dom  card  <->  E. w  w  We  A )
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9  |-  F  = recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ v  e.  C  A. u  e.  C  -.  u w v ) ) )
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9  |-  C  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ran  f  g R z }
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9  |-  D  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }
52, 3, 4zorn2lem4 8929 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  E. x  e.  On  D  =  (/) )
6 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( F " x )  =  ( F " y
) )
76raleqdv 2993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " y
) g R z ) )
87rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z } )
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " y ) g R z }
108, 4, 93eqtr4g 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  D  =  H )
1110eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( D  =  (/)  <->  H  =  (/) ) )
1211onminex 6634 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
13 df-ne 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  =/=  (/)  <->  -.  H  =  (/) )
1413ralbii 2819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  <->  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) )
1514anbi2i 700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1615rexbii 2889 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  <->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  -.  H  =  (/) ) )
1712, 16sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  D  =  (/)  ->  E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )
182, 3, 4, 9zorn2lem5 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( F " x
)  C_  A )
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( F " x )  C_  A ) )
202, 3, 4, 9zorn2lem6 8931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  R  Or  ( F " x
) ) )
2119, 20jcad 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( F " x
)  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
222tfr1 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F  Fn  On
23 fnfun 5673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  On  ->  Fun  F )
24 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
2524funimaex 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
F  ->  ( F " x )  e.  _V )
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F
" x )  e. 
_V
27 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
s  C_  A  <->  ( F " x )  C_  A
) )
28 soeq2 4775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( R  Or  s  <->  R  Or  ( F " x ) ) )
2927, 28anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  <->  ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) ) ) )
30 raleq 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3130rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a )  <->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3229, 31imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  ( F "
x )  ->  (
( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  <-> 
( ( ( F
" x )  C_  A  /\  R  Or  ( F " x ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) ) )
3326, 32spcv 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( ( ( F " x ) 
C_  A  /\  R  Or  ( F " x
) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3421, 33sylan9 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3534adantld 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) ) )
3635imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a ) )
37 noel 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  -.  b  e.  (/)
3818sseld 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  r  e.  A
) )
39 3anass 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A )  <->  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )
40 potr 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( r R a  /\  a R b )  ->  r R
b ) )
4139, 40sylan2br 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( ( r R a  /\  a R b )  ->  r R b ) )
4241expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  -> 
( a R b  ->  ( r R a  ->  r R
b ) ) )
4342imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r R a  ->  r R b ) )
44 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( r  =  a  ->  (
r R b  <->  a R
b ) )
4544biimprcd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( a R b  ->  (
r  =  a  -> 
r R b ) )
4645adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( r  =  a  ->  r R b ) )
4743, 46jaod 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  ( r  e.  A  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  a R b )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) )
4847exp42 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( R  Po  A  ->  (
r  e.  A  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
4938, 48sylan9r 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5049com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a R b  ->  ( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
r  e.  ( F
" x )  -> 
( ( r R a  \/  r  =  a )  ->  r R b ) ) ) ) )
5150com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  (
a R b  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) ) ) )
5251imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( r  e.  ( F " x )  ->  ( ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
r R b ) ) )
5352a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( ( r  e.  ( F " x
)  ->  ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( r  e.  ( F " x
)  ->  r R
b ) ) )
5453ralimdv2 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b )  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. r  e.  ( F " x
) r R b ) )
55 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( r  =  g  ->  (
r R b  <->  g R
b ) )
5655cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  <->  A. g  e.  ( F " x ) g R b )
57 breq2 4406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( z  =  b  ->  (
g R z  <->  g R
b ) )
5857ralbidv 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( z  =  b  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R z  <->  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
5958elrab 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F " x
) g R b ) )
604eqeq1i 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( D  =  (/)  <->  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) )
61 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  =  (/) 
->  ( b  e.  {
z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x ) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6260, 61sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  { z  e.  A  |  A. g  e.  ( F " x
) g R z }  <->  b  e.  (/) ) )
6359, 62syl5bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  <->  b  e.  (/) ) )
6463biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( D  =  (/)  ->  ( ( b  e.  A  /\  A. g  e.  ( F
" x ) g R b )  -> 
b  e.  (/) ) )
6564expdimp 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. g  e.  ( F " x ) g R b  ->  b  e.  (/) ) )
6656, 65syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) r R b  ->  b  e.  (/) ) )
6754, 66sylan9r 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  /\  ( ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  /\  a R b ) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) )
6867exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
a R b  -> 
( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
6968com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) ) ) )
7069imp31 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( a R b  ->  b  e.  (/) ) )
7137, 70mtoi 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A
)  /\  ( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) ) )  /\  A. r  e.  ( F
" x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  -.  a R b )
7271exp42 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( ( a  e.  A  /\  b  e.  A )  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R
b ) ) ) )
7372exp4a 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( b  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7473com34 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  =  (/)  /\  b  e.  A )  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7574ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  =  (/)  ->  ( b  e.  A  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( b  e.  A  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7675com4r 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
b  e.  A  -> 
( ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) ) )
7776pm2.43a 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( b  e.  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) )  -> 
( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) ) )
7877impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( b  e.  A  ->  (
( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  -.  a R b ) ) ) )
7978com4l 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  -> 
( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) ) )
8079impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  ( b  e.  A  ->  -.  a R b ) ) )
8180ralrimdv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( ( a  e.  A  /\  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a ) )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8281expd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( a  e.  A  ->  ( A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
8382reximdvai 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  =  (/)  /\  ( R  Po  A  /\  ( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8483exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  =  (/)  ->  ( R  Po  A  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8584com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R  Po  A  ->  ( D  =  (/)  ->  (
( ( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8685adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  -> 
( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x
) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
8786imp32 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  ( E. a  e.  A  A. r  e.  ( F " x ) ( r R a  \/  r  =  a )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  ( D  =  (/)  /\  (
( w  We  A  /\  x  e.  On )  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
8988exp45 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9089com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  ( (
w  We  A  /\  x  e.  On )  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9190expdimp 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( D  =  (/)  ->  ( A. y  e.  x  H  =/=  (/)  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) ) )
9291imp4a 594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( x  e.  On  ->  ( ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9392com3l 84 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  (
( D  =  (/)  /\ 
A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) ) )
9493rexlimiv 2873 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( D  =  (/)  /\  A. y  e.  x  H  =/=  (/) )  ->  (
( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
955, 17, 943syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Po  A  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9695adantlr 721 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9796pm2.43i 49 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  /\  w  We  A )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
9897expcom 437 . . . 4  |-  ( w  We  A  ->  (
( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
9998exlimiv 1776 . . 3  |-  ( E. w  w  We  A  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s
)  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1001, 99sylbi 199 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( ( R  Po  A  /\  A. s ( ( s  C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s 
( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b ) )
1011003impib 1206 1  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  R  Po  A  /\  A. s ( ( s 
C_  A  /\  R  Or  s )  ->  E. a  e.  A  A. r  e.  s  ( r R a  \/  r  =  a ) ) )  ->  E. a  e.  A  A. b  e.  A  -.  a R b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    Po wpo 4753    Or wor 4754    We wwe 4792   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Oncon0 5423   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   iota_crio 6251  recscrecs 7089   cardccrd 8369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-en 7570  df-card 8373
This theorem is referenced by:  zorn2g  8933
  Copyright terms: Public domain W3C validator