Theorem xreceu 28961

Description: Existential uniqueness of reciprocals. Theorem I.8 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
xreceu	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem xreceu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressxr 9962	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
2		xrecex 28959	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
3	2	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
4		ssrexv 3630	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑦 ∈ ℝ (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1))
5	1, 3, 4	mpsyl 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1)
6		simprl 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
7		simpll 786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8	6, 7	xmulcld 12004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ*)
9		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
10	9	ad2antll 761	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (1 ·e 𝐴))
11		simplr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	rexrd 9968	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13		xmulass 11989	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
14	12, 6, 7, 13	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ((𝐵 ·e 𝑦) ·e 𝐴) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
15		xmulid2 11982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
16	7, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (1 ·e 𝐴) = 𝐴)
17	10, 14, 16	3eqtr3d 2652	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴)
18		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)))
19	18	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ·e 𝐴) → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴))
20	19	rspcev 3282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ·e 𝐴) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e (𝑦 ·e 𝐴)) = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
21	8, 17, 20	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
22	21	rexlimdvaa 3014	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
23	22	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑦) = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴))
24	5, 23	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)
25		eqtr3 2631	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
26		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
27		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
28		simp3l 1082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
29		simp3r 1083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ≠ 0)
30	26, 27, 28, 29	xmulcand 28960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
31	25, 30	syl5ib 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
32	31	3expa 1257	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
33	32	expcom 450	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
34	33	3adant1 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
35	34	ralrimivv 2953	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦))
36		oveq2 6557	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ·e 𝑥) = (𝐵 ·e 𝑦))
37	36	eqeq1d 2612	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴))
38	37	reu4 3367	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ↔ (∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (((𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴 ∧ (𝐵 ·e 𝑦) = 𝐴) → 𝑥 = 𝑦)))
39	24, 35, 38	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℝ* (𝐵 ·e 𝑥) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∃!wreu 2898   ⊆ wss 3540  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   ·_e cxmu 11821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-xneg 11822  df-xmul 11824

This theorem is referenced by:  xdivcld  28962  xdivmul  28964  rexdiv  28965  xrmulc1cn  29304