Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrdifh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrdifh 28932
 Description: Class difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrdifh.1 𝐴 ∈ ℝ*
Assertion
Ref Expression
xrdifh (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)

Proof of Theorem xrdifh
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biortn 420 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
2 pnfge 11840 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≤ +∞)
32notnotd 137 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* → ¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞)
4 biorf 419 . . . . . . . 8 (¬ ¬ 𝑥 ≤ +∞ → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥)))
6 orcom 401 . . . . . . 7 ((¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ≤ +∞ ∨ ¬ 𝐴𝑥))
75, 6syl6bbr 277 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝐴𝑥 ↔ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
8 xrdifh.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℝ*
9 pnfxr 9971 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
10 elicc1 12090 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞)))
118, 9, 10mp2an 704 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
1211notbii 309 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞))
13 3ianor 1048 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 ∈ ℝ*𝐴𝑥𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))
14 3orass 1034 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ ¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1512, 13, 143bitri 285 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞)))
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ (¬ 𝑥 ∈ ℝ* ∨ (¬ 𝐴𝑥 ∨ ¬ 𝑥 ≤ +∞))))
171, 7, 163bitr4rd 300 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ ¬ 𝐴𝑥))
18 xrltnle 9984 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
198, 18mpan2 703 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝑥))
2017, 19bitr4d 270 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ* → (¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞) ↔ 𝑥 < 𝐴))
2120pm5.32i 667 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
22 eldif 3550 . . 3 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴[,]+∞)))
23 3anass 1035 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
24 mnfxr 9975 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
25 elico1 12089 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2624, 8, 25mp2an 704 . . . 4 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴))
27 mnfle 11845 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ* → -∞ ≤ 𝑥)
2827biantrurd 528 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 < 𝐴 ↔ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
2928pm5.32i 667 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ (-∞ ≤ 𝑥𝑥 < 𝐴)))
3023, 26, 293bitr4i 291 . . 3 (𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴))
3121, 22, 303bitr4i 291 . 2 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) ↔ 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
3231eqriv 2607 1 (ℝ* ∖ (𝐴[,]+∞)) = (-∞[,)𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  +∞cpnf 9950  -∞cmnf 9951  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  [,)cico 12048  [,]cicc 12049 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-icc 12053 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator