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Theorem xrdifh 27356
Description: Set difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrdifh.1  |-  A  e. 
RR*
Assertion
Ref Expression
xrdifh  |-  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  =  ( -oo [,) A )

Proof of Theorem xrdifh
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biortn 406 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) ) )
2 pnfge 11340 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
3 notnot 291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <_ +oo  <->  -.  -.  x  <_ +oo )
42, 3sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  -.  x  <_ +oo )
5 biorf 405 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
-.  x  <_ +oo  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) ) )
7 orcom 387 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) )
9 xrdifh.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
RR*
10 pnfxr 11322 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
11 elicc1 11574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )
) )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )
)
1312notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
14 3ianor 990 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) )
15 3orass 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  RR*  \/ 
-.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_ +oo )
) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_ +oo )
) ) )
181, 8, 173bitr4rd 286 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  -.  A  <_  x ) )
19 xrltnle 9654 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  <  A  <->  -.  A  <_  x ) )
209, 19mpan2 671 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x ) )
2118, 20bitr4d 256 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  x  <  A ) )
2221pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -.  x  e.  ( A [,] +oo ) )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  < 
A ) )
23 eldif 3486 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR*  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] +oo )
) )
24 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  < 
A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
25 mnfxr 11324 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
26 elico1 11573 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  <  A
) ) )
2725, 9, 26mp2an 672 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  <  A
) )
28 mnfle 11343 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
2928biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  A  <->  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
3029pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  <  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
3124, 27, 303bitr4i 277 . . 3  |-  ( x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  < 
A ) )
3222, 23, 313bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  <-> 
x  e.  ( -oo [,) A ) )
3332eqriv 2463 1  |-  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  =  ( -oo [,) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   +oocpnf 9626   -oocmnf 9627   RR*cxr 9628    < clt 9629    <_ cle 9630   [,)cico 11532   [,]cicc 11533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-ico 11536  df-icc 11537
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