Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrdifh Structured version   Unicode version

Theorem xrdifh 27751
Description: Set difference of a half-open interval in the extended reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
xrdifh.1  |-  A  e. 
RR*
Assertion
Ref Expression
xrdifh  |-  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  =  ( -oo [,) A )

Proof of Theorem xrdifh
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biortn 406 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) ) )
2 pnfge 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR*  ->  x  <_ +oo )
3 notnot 291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <_ +oo  <->  -.  -.  x  <_ +oo )
42, 3sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR*  ->  -.  -.  x  <_ +oo )
5 biorf 405 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
-.  x  <_ +oo  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) ) )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) ) )
7 orcom 387 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  <_ +oo  \/  -.  A  <_  x ) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  A  <_  x  <->  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) )
9 xrdifh.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
RR*
10 pnfxr 11346 . . . . . . . . . 10  |- +oo  e.  RR*
11 elicc1 11598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )
) )
129, 10, 11mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )
)
1312notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  -.  (
x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo ) )
14 3ianor 990 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( x  e.  RR*  /\  A  <_  x  /\  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) )
15 3orass 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  e.  RR*  \/ 
-.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/  -.  x  <_ +oo ) ) )
1613, 14, 153bitri 271 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_ +oo )
) )
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  ( -.  x  e.  RR*  \/  ( -.  A  <_  x  \/ 
-.  x  <_ +oo )
) ) )
181, 8, 173bitr4rd 286 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  -.  A  <_  x ) )
19 xrltnle 9670 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  <  A  <->  -.  A  <_  x ) )
209, 19mpan2 671 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  A  <->  -.  A  <_  x ) )
2118, 20bitr4d 256 . . . 4  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( -.  x  e.  ( A [,] +oo )  <->  x  <  A ) )
2221pm5.32i 637 . . 3  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  -.  x  e.  ( A [,] +oo ) )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  < 
A ) )
23 eldif 3481 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR*  /\ 
-.  x  e.  ( A [,] +oo )
) )
24 3anass 977 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  < 
A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
25 mnfxr 11348 . . . . 5  |- -oo  e.  RR*
26 elico1 11597 . . . . 5  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  <  A
) ) )
2725, 9, 26mp2an 672 . . . 4  |-  ( x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\ -oo  <_  x  /\  x  <  A
) )
28 mnfle 11367 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR*  -> -oo  <_  x )
2928biantrurd 508 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR*  ->  ( x  <  A  <->  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
3029pm5.32i 637 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  x  <  A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  ( -oo  <_  x  /\  x  < 
A ) ) )
3124, 27, 303bitr4i 277 . . 3  |-  ( x  e.  ( -oo [,) A )  <->  ( x  e.  RR*  /\  x  < 
A ) )
3222, 23, 313bitr4i 277 . 2  |-  ( x  e.  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  <-> 
x  e.  ( -oo [,) A ) )
3332eqriv 2453 1  |-  ( RR*  \  ( A [,] +oo ) )  =  ( -oo [,) A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   [,)cico 11556   [,]cicc 11557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-ico 11560  df-icc 11561
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator