Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlksnonfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnonfi 41127
 Description: In a finite graph, the set of walks of a fixed length between two vertices is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Mar-2018.) (Revised by AV, 15-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wwlksnonfi ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem wwlksnonfi
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlksnfi 41112 . . . 4 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∈ Fin)
2 rabfi 8070 . . . 4 ((𝑁 WWalkSN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤𝑁) = 𝐵)} ∈ Fin)
31, 2syl 17 . . 3 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤𝑁) = 𝐵)} ∈ Fin)
4 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54iswwlksnon 41051 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤𝑁) = 𝐵)})
65adantl 481 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤𝑁) = 𝐵)})
76eleq1d 2672 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin ↔ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝐴 ∧ (𝑤𝑁) = 𝐵)} ∈ Fin))
83, 7syl5ibr 235 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin))
94wwlksnon0 41123 . . 3 (¬ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = ∅)
10 0fin 8073 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
11 eleq1 2676 . . . . 5 ((𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = ∅ → ((𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
1210, 11mpbiri 247 . . . 4 ((𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = ∅ → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin)
1312a1d 25 . . 3 ((𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) = ∅ → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin))
149, 13syl 17 . 2 (¬ ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin))
158, 14pm2.61i 175 1 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝐴(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  Vtxcvtx 25673   WWalkSN cwwlksn 41029   WWalksNOn cwwlksnon 41030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035 This theorem is referenced by:  wspthnonfi  41129
 Copyright terms: Public domain W3C validator