Theorem sqabs 13895

Description: The squares of two reals are equal iff their absolute values are equal. (Contributed by NM, 6-Mar-2009.)

Assertion

Ref	Expression
sqabs	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem sqabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqcl 12793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
2		sqge0 12802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴↑2))
3		absid 13884	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑2)) → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
4	1, 2, 3	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = (𝐴↑2))
5		recn 9905	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		2nn0 11186	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
7		absexp 13892	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
8	5, 6, 7	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘(𝐴↑2)) = ((abs‘𝐴)↑2))
9	4, 8	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
10		resqcl 12793	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) ∈ ℝ)
11		sqge0 12802	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵↑2))
12		absid 13884	. . . . 5 ⊢ (((𝐵↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑2)) → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
13	10, 11, 12	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = (𝐵↑2))
14		recn 9905	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		absexp 13892	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
16	14, 6, 15	sylancl 693	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘(𝐵↑2)) = ((abs‘𝐵)↑2))
17	13, 16	eqtr3d 2646	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
18	9, 17	eqeqan12d 2626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2)))
19		abscl 13866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
20		absge0 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
21	19, 20	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)))
22		abscl 13866	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
23		absge0 13875	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐵))
24	22, 23	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)))
25		sq11 12798	. . . 4 ⊢ ((((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) ∧ ((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵))) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
26	21, 24, 25	syl2an 493	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
27	5, 14, 26	syl2an 493	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))
28	18, 27	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (abs‘𝐴) = (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722  abscabs 13822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824

This theorem is referenced by:  coskpi  24076