MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8045
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 7971 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1𝑜)
21con2i 133 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ 1𝑜𝐴)
3 0sdom1dom 8043 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
42, 3sylnibr 318 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 7848 . . . . 5 Rel ≺
65brrelexi 5082 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 7974 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 2825 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 246 . 2 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
11 1n0 7462 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
12 1on 7454 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
1312elexi 3186 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
14130sdom 7976 . . . 4 (∅ ≺ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≠ ∅)
1511, 14mpbir 220 . . 3 ∅ ≺ 1𝑜
16 breq1 4586 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ ∅ ≺ 1𝑜))
1715, 16mpbiri 247 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1𝑜)
1810, 17impbii 198 1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  c0 3874   class class class wbr 4583  Oncon0 5640  1𝑜c1o 7440  cdom 7839  csdm 7840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844
This theorem is referenced by:  modom  8046  frgpcyg  19741
  Copyright terms: Public domain W3C validator