MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sdom1 7772
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1  |-  ( A 
~<  1o  <->  A  =  (/) )

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 7698 . . . . 5  |-  ( 1o  ~<_  A  ->  -.  A  ~<  1o )
21con2i 124 . . . 4  |-  ( A 
~<  1o  ->  -.  1o  ~<_  A )
3 0sdom1dom 7770 . . . 4  |-  ( (/)  ~<  A 
<->  1o  ~<_  A )
42, 3sylnibr 307 . . 3  |-  ( A 
~<  1o  ->  -.  (/)  ~<  A )
5 relsdom 7576 . . . . 5  |-  Rel  ~<
65brrelexi 4875 . . . 4  |-  ( A 
~<  1o  ->  A  e.  _V )
7 0sdomg 7701 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
87necon2bbid 2667 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  =  (/)  <->  -.  (/)  ~<  A ) )
96, 8syl 17 . . 3  |-  ( A 
~<  1o  ->  ( A  =  (/)  <->  -.  (/)  ~<  A ) )
104, 9mpbird 236 . 2  |-  ( A 
~<  1o  ->  A  =  (/) )
11 1n0 7197 . . . 4  |-  1o  =/=  (/)
12 1on 7189 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
1312elexi 3055 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
14130sdom 7703 . . . 4  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
1511, 14mpbir 213 . . 3  |-  (/)  ~<  1o
16 breq1 4405 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A 
~<  1o  <->  (/)  ~<  1o )
)
1715, 16mpbiri 237 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  A  ~<  1o )
1810, 17impbii 191 1  |-  ( A 
~<  1o  <->  A  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   Oncon0 5423   1oc1o 7175    ~<_ cdom 7567    ~< csdm 7568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572
This theorem is referenced by:  modom  7773  frgpcyg  19144
  Copyright terms: Public domain W3C validator