Theorem sdom1 7772

Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1	|- ( A ~< 1o <-> A = (/) )

Proof of Theorem sdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 7698	. . . . 5 |- ( 1o ~<_ A -> -. A ~< 1o )
2	1	con2i 124	. . . 4 |- ( A ~< 1o -> -. 1o ~<_ A )
3		0sdom1dom 7770	. . . 4 |- ( (/) ~< A <-> 1o ~<_ A )
4	2, 3	sylnibr 307	. . 3 |- ( A ~< 1o -> -. (/) ~< A )
5		relsdom 7576	. . . . 5 |- Rel ~<
6	5	brrelexi 4875	. . . 4 |- ( A ~< 1o -> A e. _V )
7		0sdomg 7701	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( (/) ~< A <-> A =/= (/) ) )
8	7	necon2bbid 2667	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A = (/) <-> -. (/) ~< A ) )
9	6, 8	syl 17	. . 3 |- ( A ~< 1o -> ( A = (/) <-> -. (/) ~< A ) )
10	4, 9	mpbird 236	. 2 |- ( A ~< 1o -> A = (/) )
11		1n0 7197	. . . 4 |- 1o =/= (/)
12		1on 7189	. . . . . 6 |- 1o e. On
13	12	elexi 3055	. . . . 5 |- 1o e. _V
14	13	0sdom 7703	. . . 4 |- ( (/) ~< 1o <-> 1o =/= (/) )
15	11, 14	mpbir 213	. . 3 |- (/) ~< 1o
16		breq1 4405	. . 3 |- ( A = (/) -> ( A ~< 1o <-> (/) ~< 1o ) )
17	15, 16	mpbiri 237	. 2 |- ( A = (/) -> A ~< 1o )
18	10, 17	impbii 191	1 |- ( A ~< 1o <-> A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   _Vcvv 3045   (/)c0 3731   class class class wbr 4402   Oncon0 5423   1oc1o 7175   ~<_ cdom 7567   ~< csdm 7568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-1o 7182  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572

This theorem is referenced by:  modom  7773  frgpcyg  19144