Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtlt 39616
 Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtlt.x 𝑥𝜑
salpreimagtlt.a 𝑎𝜑
salpreimagtlt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimagtlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtlt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimagtlt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimagtlt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimagtlt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimagtlt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1830 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1816 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1830 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1830 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
122, 11nfan 1816 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1830 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
1412, 13nfim 1813 . . . . 5 𝑎((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15 eleq1 2676 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
1615anbi2d 736 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℝ)))
17 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵𝑏 < 𝐵))
1817rabbidv 3164 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵})
1918eleq1d 2672 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
2016, 19imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21 salpreimagtlt.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2214, 20, 21chvar 2250 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2322adantlr 747 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
257, 8, 9, 10, 23, 24salpreimagtge 39611 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
26 salpreimagtlt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
271, 2, 3, 4, 5, 25, 26salpreimagelt 39595 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  Ⅎwnf 1699   ∈ wcel 1977  {crab 2900  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  SAlgcsalg 39204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-salg 39205 This theorem is referenced by:  issmfgtlem  39642
 Copyright terms: Public domain W3C validator