Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1bg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankr1bg 8549
 Description: A relationship between rank and 𝑅1. See rankr1ag 8548 for the membership version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1bg ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem rankr1bg
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8512 . . . . 5 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
21simpri 477 . . . 4 Lim dom 𝑅1
3 limsuc 6941 . . . 4 (Lim dom 𝑅1 → (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 ↔ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
5 rankr1ag 8548 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ suc 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
64, 5sylan2b 491 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
7 r1sucg 8515 . . . . 5 (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
87adantl 481 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1𝐵))
98eleq2d 2673 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵)))
10 fvex 6113 . . . 4 (𝑅1𝐵) ∈ V
1110elpw2 4755 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵))
129, 11syl6rbb 276 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
13 rankon 8541 . . 3 (rank‘𝐴) ∈ On
14 limord 5701 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
152, 14ax-mp 5 . . . . 5 Ord dom 𝑅1
16 ordelon 5664 . . . . 5 ((Ord dom 𝑅1𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
1715, 16mpan 702 . . . 4 (𝐵 ∈ dom 𝑅1𝐵 ∈ On)
1817adantl 481 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → 𝐵 ∈ On)
19 onsssuc 5730 . . 3 (((rank‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
2013, 18, 19sylancr 694 . 2 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → ((rank‘𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ (rank‘𝐴) ∈ suc 𝐵))
216, 12, 203bitr4d 299 1 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ 𝐵 ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1𝐵) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038   “ cima 5041  Ord word 5639  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  suc csuc 5642  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  𝑅1cr1 8508  rankcrnk 8509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511 This theorem is referenced by:  r1rankidb  8550  rankval3b  8572  rankssb  8594  rankeq0b  8606  rankr1id  8608  rankr1b  8610
 Copyright terms: Public domain W3C validator