Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankeq0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankeq0b 8606
 Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankeq0b (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . 3 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2 r1funlim 8512 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 477 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
4 limomss 6962 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ω ⊆ dom 𝑅1
6 peano1 6977 . . . . 5 ∅ ∈ ω
75, 6sselii 3565 . . . 4 ∅ ∈ dom 𝑅1
8 rankonid 8575 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
97, 8mpbi 219 . . 3 (rank‘∅) = ∅
101, 9syl6eq 2660 . 2 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11 eqimss 3620 . . . . . . 7 ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
14 rankr1bg 8549 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1513, 7, 14sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1612, 15mpbird 246 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17 r10 8514 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
1816, 17syl6sseq 3614 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19 ss0 3926 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
2120ex 449 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
2210, 21impbid2 215 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ cuni 4372  dom cdm 5038   “ cima 5041  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  ωcom 6957  𝑅1cr1 8508  rankcrnk 8509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511 This theorem is referenced by:  rankeq0  8607
 Copyright terms: Public domain W3C validator