MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankeq0b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rankeq0b 8606
Description: A set is empty iff its rank is empty. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankeq0b (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem rankeq0b
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . 3 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = (rank‘∅))
2 r1funlim 8512 . . . . . . 7 (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
32simpri 477 . . . . . 6 Lim dom 𝑅1
4 limomss 6962 . . . . . 6 (Lim dom 𝑅1 → ω ⊆ dom 𝑅1)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ω ⊆ dom 𝑅1
6 peano1 6977 . . . . 5 ∅ ∈ ω
75, 6sselii 3565 . . . 4 ∅ ∈ dom 𝑅1
8 rankonid 8575 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝑅1 ↔ (rank‘∅) = ∅)
97, 8mpbi 219 . . 3 (rank‘∅) = ∅
101, 9syl6eq 2660 . 2 (𝐴 = ∅ → (rank‘𝐴) = ∅)
11 eqimss 3620 . . . . . . 7 ((rank‘𝐴) = ∅ → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (rank‘𝐴) ⊆ ∅)
13 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 (𝑅1 “ On))
14 rankr1bg 8549 . . . . . . 7 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ ∅ ∈ dom 𝑅1) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1513, 7, 14sylancl 693 . . . . . 6 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → (𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅) ↔ (rank‘𝐴) ⊆ ∅))
1612, 15mpbird 246 . . . . 5 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘∅))
17 r10 8514 . . . . 5 (𝑅1‘∅) = ∅
1816, 17syl6sseq 3614 . . . 4 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 ⊆ ∅)
19 ss0 3926 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝐴 (𝑅1 “ On) ∧ (rank‘𝐴) = ∅) → 𝐴 = ∅)
2120ex 449 . 2 (𝐴 (𝑅1 “ On) → ((rank‘𝐴) = ∅ → 𝐴 = ∅))
2210, 21impbid2 215 1 (𝐴 (𝑅1 “ On) → (𝐴 = ∅ ↔ (rank‘𝐴) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  c0 3874   cuni 4372  dom cdm 5038  cima 5041  Oncon0 5640  Lim wlim 5641  Fun wfun 5798  cfv 5804  ωcom 6957  𝑅1cr1 8508  rankcrnk 8509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511
This theorem is referenced by:  rankeq0  8607
  Copyright terms: Public domain W3C validator