Theorem rankon 8541

Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankon	⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Proof of Theorem rankon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankf 8540	. 2 ⊢ rank:∪ (𝑅1 “ On)⟶On
2		0elon 5695	. 2 ⊢ ∅ ∈ On
3	1, 2	f0cli 6278	1 ⊢ (rank‘𝐴) ∈ On

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  ∪ cuni 4372   “ cima 5041  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  𝑅₁cr1 8508  rankcrnk 8509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-r1 8510  df-rank 8511

This theorem is referenced by:  rankr1ai  8544  rankr1bg  8549  rankr1clem  8566  rankr1c  8567  rankpwi  8569  rankelb  8570  wfelirr  8571  rankval3b  8572  ranksnb  8573  rankr1a  8582  bndrank  8587  unbndrank  8588  rankunb  8596  rankprb  8597  rankuni2b  8599  rankuni  8609  rankuniss  8612  rankval4  8613  rankbnd2  8615  rankc1  8616  rankc2  8617  rankelun  8618  rankelpr  8619  rankelop  8620  rankmapu  8624  rankxplim  8625  rankxplim3  8627  rankxpsuc  8628  tcrank  8630  scottex  8631  scott0  8632  dfac12lem2  8849  hsmexlem5  9135  r1limwun  9437  wunex3  9442  rankcf  9478  grur1  9521  elhf2  31452  hfuni  31461  dfac11  36650