Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolshftlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovolshftlem2 23085
 Description: Lemma for ovolshft 23086. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolshft.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ovolshft.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ovolshft.3 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
ovolshft.4 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
Assertion
Ref Expression
ovolshftlem2 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐶,𝑓,𝑔,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑓,𝑔,𝑦,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝜑,𝑓,𝑔,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑓)

Proof of Theorem ovolshftlem2
Dummy variables 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolshft.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
21ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ovolshft.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 ovolshft.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
65ad3antrrr 762 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥𝐶) ∈ 𝐴})
7 ovolshft.4 . . . . . . 7 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
8 eqid 2610 . . . . . . 7 seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔))
9 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑔𝑚) = (𝑔𝑛))
109fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (1st ‘(𝑔𝑚)) = (1st ‘(𝑔𝑛)))
1110oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((1st ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶) = ((1st ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶))
129fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (2nd ‘(𝑔𝑚)) = (2nd ‘(𝑔𝑛)))
1312oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((2nd ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶) = ((2nd ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶))
1411, 13opeq12d 4348 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ⟨((1st ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶)⟩ = ⟨((1st ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶)⟩)
1514cbvmptv 4678 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔𝑚)) + 𝐶)⟩) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⟨((1st ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶), ((2nd ‘(𝑔𝑛)) + 𝐶)⟩)
16 simplr 788 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ))
17 reex 9906 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
1817, 17xpex 6860 . . . . . . . . . 10 (ℝ × ℝ) ∈ V
1918inex2 4728 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
20 nnex 10903 . . . . . . . . 9 ℕ ∈ V
2119, 20elmap 7772 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝑔:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2216, 21sylib 207 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝑔:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
23 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔))
242, 4, 6, 7, 8, 15, 22, 23ovolshftlem1 23084 . . . . . 6 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) ∈ 𝑀)
25 eleq1a 2683 . . . . . 6 (sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) ∈ 𝑀 → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) → 𝑧𝑀))
2624, 25syl 17 . . . . 5 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) ∧ 𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔)) → (𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ) → 𝑧𝑀))
2726expimpd 627 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)) → ((𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧𝑀))
2827rexlimdva 3013 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧𝑀))
2928ralrimiva 2949 . 2 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧𝑀))
30 rabss 3642 . 2 ({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ* (∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < )) → 𝑧𝑀))
3129, 30sylibr 223 1 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑔 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ran ((,) ∘ 𝑔) ∧ 𝑧 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑔)), ℝ*, < ))} ⊆ 𝑀)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ran crn 5039   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1st c1st 7057  2nd c2nd 7058   ↑𝑚 cmap 7744  supcsup 8229  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  (,)cioo 12046  seqcseq 12663  abscabs 13822 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824 This theorem is referenced by:  ovolshft  23086
 Copyright terms: Public domain W3C validator