Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oieu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oieu 8327
 Description: Uniqueness of the unique ordinal isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oieu ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem oieu
StepHypRef Expression
1 simprr 792 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
2 oicl.1 . . . . . . . . 9 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 8320 . . . . . . . 8 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
5 isocnv 6480 . . . . . . 7 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹))
7 isotr 6486 . . . . . 6 ((𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom 𝑅, E (𝐴, dom 𝐹)) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
81, 6, 7syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹))
9 simprl 790 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord 𝐵)
102oicl 8317 . . . . . 6 Ord dom 𝐹
1110a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → Ord dom 𝐹)
12 ordiso2 8303 . . . . 5 (((𝐹𝐺) Isom E , E (𝐵, dom 𝐹) ∧ Ord 𝐵 ∧ Ord dom 𝐹) → 𝐵 = dom 𝐹)
138, 9, 11, 12syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐵 = dom 𝐹)
14 ordwe 5653 . . . . . 6 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
1514ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E We 𝐵)
16 epse 5021 . . . . . 6 E Se 𝐵
1716a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → E Se 𝐵)
18 isoeq4 6470 . . . . . . 7 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
1913, 18syl 17 . . . . . 6 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
204, 19mpbird 246 . . . . 5 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))
21 weisoeq 6505 . . . . 5 ((( E We 𝐵 ∧ E Se 𝐵) ∧ (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ∧ 𝐹 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2215, 17, 1, 20, 21syl22anc 1319 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → 𝐺 = 𝐹)
2313, 22jca 553 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹))
2423ex 449 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
253, 10jctil 558 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
26 ordeq 5647 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
2726adantr 480 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵 ↔ Ord dom 𝐹))
28 isoeq4 6470 . . . . 5 (𝐵 = dom 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
29 isoeq1 6467 . . . . 5 (𝐺 = 𝐹 → (𝐺 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3028, 29sylan9bb 732 . . . 4 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴) ↔ 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴)))
3127, 30anbi12d 743 . . 3 ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (Ord dom 𝐹𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))))
3225, 31syl5ibrcom 236 . 2 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹) → (Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴))))
3324, 32impbid 201 1 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → ((Ord 𝐵𝐺 Isom E , 𝑅 (𝐵, 𝐴)) ↔ (𝐵 = dom 𝐹𝐺 = 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   E cep 4947   Se wse 4995   We wwe 4996  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ∘ ccom 5042  Ord word 5639   Isom wiso 5805  OrdIsocoi 8297 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-oi 8298 This theorem is referenced by:  hartogslem1  8330  cantnfp1lem3  8460  oemapwe  8474  cantnffval2  8475  om2uzoi  12616
 Copyright terms: Public domain W3C validator