MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  weisoeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem weisoeq 6505
Description: Thus, there is at most one isomorphism between any two set-like well-ordered classes. Class version of wemoiso 7044. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
weisoeq (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem weisoeq
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2 isocnv 6480 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴))
3 isotr 6486 . . . 4 ((𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐹 Isom 𝑆, 𝑅 (𝐵, 𝐴)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
41, 2, 3syl2anr 494 . . 3 ((𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵)) → (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴))
5 weniso 6504 . . . 4 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴 ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
653expa 1257 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹𝐺) Isom 𝑅, 𝑅 (𝐴, 𝐴)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
74, 6sylan2 490 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴))
8 simprl 790 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
9 isof1o 6473 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
10 f1of1 6049 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
118, 9, 103syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
12 simprr 792 . . . 4 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
13 isof1o 6473 . . . 4 (𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) → 𝐺:𝐴1-1-onto𝐵)
14 f1of1 6049 . . . 4 (𝐺:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵)
1512, 13, 143syl 18 . . 3 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐺:𝐴1-1𝐵)
16 f1eqcocnv 6456 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
1711, 15, 16syl2anc 691 . 2 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
187, 17mpbird 246 1 (((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ∧ 𝐺 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))) → 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475   I cid 4948   Se wse 4995   We wwe 4996  ccnv 5037  cres 5040  ccom 5042  1-1wf1 5801  1-1-ontowf1o 5803   Isom wiso 5805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813
This theorem is referenced by:  weisoeq2  6506  wemoiso  7044  oieu  8327
  Copyright terms: Public domain W3C validator