Theorem oduposb 16959

Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
odupos.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduposb	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odupos.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
2	1	odupos 16958	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
4	3	odupos 16958	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (ODual‘𝐷) ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
7		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ 𝑉)
8		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
9	1, 8	odubas 16956	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
10	3, 9	odubas 16956	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
12		eqidd 2611	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
13		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
14	1, 13	oduleval 16954	. . . . . . . . 9 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘𝐷)
15	3, 14	oduleval 16954	. . . . . . . 8 ⊢ ◡◡(le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
16	15	eqcomi 2619	. . . . . . 7 ⊢ (le‘(ODual‘𝐷)) = ◡◡(le‘𝑂)
17	16	breqi 4589	. . . . . 6 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏)
18		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑎 ∈ V
19		vex 3176	. . . . . . 7 ⊢ 𝑏 ∈ V
20	18, 19	brcnv 5227	. . . . . 6 ⊢ (𝑎◡◡(le‘𝑂)𝑏 ↔ 𝑏◡(le‘𝑂)𝑎)
21	19, 18	brcnv 5227	. . . . . 6 ⊢ (𝑏◡(le‘𝑂)𝑎 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
22	17, 20, 21	3bitri 285	. . . . 5 ⊢ (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏)
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏 ↔ 𝑎(le‘𝑂)𝑏))
24	6, 7, 11, 12, 23	pospropd 16957	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
25	4, 24	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
26	2, 25	impbid2 215	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  ODualcodu 16951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-preset 16751  df-poset 16769  df-odu 16952

This theorem is referenced by:  odulatb  16966  oduclatb  16967