Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduposb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduposb 16959
 Description: Being a poset is a self-dual property. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
odupos.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
oduposb (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))

Proof of Theorem oduposb
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odupos.d . . 3 𝐷 = (ODual‘𝑂)
21odupos 16958 . 2 (𝑂 ∈ Poset → 𝐷 ∈ Poset)
3 eqid 2610 . . . 4 (ODual‘𝐷) = (ODual‘𝐷)
43odupos 16958 . . 3 (𝐷 ∈ Poset → (ODual‘𝐷) ∈ Poset)
5 fvex 6113 . . . . 5 (ODual‘𝐷) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝑂𝑉 → (ODual‘𝐷) ∈ V)
7 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
8 eqid 2610 . . . . . . 7 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
91, 8odubas 16956 . . . . . 6 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
103, 9odubas 16956 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷))
1110a1i 11 . . . 4 (𝑂𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘(ODual‘𝐷)))
12 eqidd 2611 . . . 4 (𝑂𝑉 → (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂))
13 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
141, 13oduleval 16954 . . . . . . . . 9 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
153, 14oduleval 16954 . . . . . . . 8 (le‘𝑂) = (le‘(ODual‘𝐷))
1615eqcomi 2619 . . . . . . 7 (le‘(ODual‘𝐷)) = (le‘𝑂)
1716breqi 4589 . . . . . 6 (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏)
18 vex 3176 . . . . . . 7 𝑎 ∈ V
19 vex 3176 . . . . . . 7 𝑏 ∈ V
2018, 19brcnv 5227 . . . . . 6 (𝑎(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑎)
2119, 18brcnv 5227 . . . . . 6 (𝑏(le‘𝑂)𝑎𝑎(le‘𝑂)𝑏)
2217, 20, 213bitri 285 . . . . 5 (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏)
2322a1i 11 . . . 4 ((𝑂𝑉 ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑂) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑂))) → (𝑎(le‘(ODual‘𝐷))𝑏𝑎(le‘𝑂)𝑏))
246, 7, 11, 12, 23pospropd 16957 . . 3 (𝑂𝑉 → ((ODual‘𝐷) ∈ Poset ↔ 𝑂 ∈ Poset))
254, 24syl5ib 233 . 2 (𝑂𝑉 → (𝐷 ∈ Poset → 𝑂 ∈ Poset))
262, 25impbid2 215 1 (𝑂𝑉 → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  ODualcodu 16951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-preset 16751  df-poset 16769  df-odu 16952 This theorem is referenced by:  odulatb  16966  oduclatb  16967
 Copyright terms: Public domain W3C validator