Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numufl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numufl 21529
 Description: Consequence of filssufilg 21525: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numufl (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)

Proof of Theorem numufl
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filssufilg 21525 . . . 4 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
21ancoms 468 . . 3 ((𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card ∧ 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)) → ∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
32ralrimiva 2949 . 2 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔)
4 elex 3185 . . . . 5 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
5 pwexb 6867 . . . . 5 (𝒫 𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5sylibr 223 . . . 4 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝒫 𝑋 ∈ V)
7 pwexb 6867 . . . 4 (𝑋 ∈ V ↔ 𝒫 𝑋 ∈ V)
86, 7sylibr 223 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ V)
9 isufl 21527 . . 3 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔))
108, 9syl 17 . 2 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → (𝑋 ∈ UFL ↔ ∀𝑓 ∈ (Fil‘𝑋)∃𝑔 ∈ (UFil‘𝑋)𝑓𝑔))
113, 10mpbird 246 1 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card → 𝑋 ∈ UFL)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  cardccrd 8644  Filcfil 21459  UFilcufil 21513  UFLcufl 21514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-rpss 6835  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-fin 7845  df-fi 8200  df-card 8648  df-cda 8873  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-fil 21460  df-ufil 21515  df-ufl 21516 This theorem is referenced by:  fiufl  21530  acufl  21531
 Copyright terms: Public domain W3C validator