MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numufl Structured version   Unicode version

Theorem numufl 20144
Description: Consequence of filssufilg 20140: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numufl  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )

Proof of Theorem numufl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filssufilg 20140 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
21ancoms 453 . . 3  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
32ralrimiva 2871 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
4 elex 3115 . . . . 5  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P ~P X  e. 
_V )
5 pwexb 6582 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  <->  ~P ~P X  e.  _V )
64, 5sylibr 212 . . . 4  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P X  e.  _V )
7 pwexb 6582 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  <->  ~P X  e.  _V )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e.  _V )
9 isufl 20142 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
)
108, 9syl 16 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
) )
113, 10mpbird 232 1  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   dom cdm 4992   ` cfv 5579   cardccrd 8305   Filcfil 20074   UFilcufil 20128  UFLcufl 20129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-rpss 6555  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-fin 7510  df-fi 7860  df-card 8309  df-cda 8537  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-fil 20075  df-ufil 20130  df-ufl 20131
This theorem is referenced by:  fiufl  20145  acufl  20146
  Copyright terms: Public domain W3C validator