MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numufl Structured version   Unicode version

Theorem numufl 20708
Description: Consequence of filssufilg 20704: a set whose double powerset is well-orderable satisfies the ultrafilter lemma. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numufl  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )

Proof of Theorem numufl
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filssufilg 20704 . . . 4  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
21ancoms 451 . . 3  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  f  e.  ( Fil `  X ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
)
32ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
4 elex 3068 . . . . 5  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P ~P X  e. 
_V )
5 pwexb 6593 . . . . 5  |-  ( ~P X  e.  _V  <->  ~P ~P X  e.  _V )
64, 5sylibr 212 . . . 4  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ~P X  e.  _V )
7 pwexb 6593 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  <->  ~P X  e.  _V )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e.  _V )
9 isufl 20706 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) E. g  e.  (
UFil `  X )
f  C_  g )
)
108, 9syl 17 . 2  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  ( X  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) E. g  e.  ( UFil `  X
) f  C_  g
) )
113, 10mpbird 232 1  |-  ( ~P ~P X  e.  dom  card 
->  X  e. UFL )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1842   A.wral 2754   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   dom cdm 4823   ` cfv 5569   cardccrd 8348   Filcfil 20638   UFilcufil 20692  UFLcufl 20693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-rpss 6562  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-fin 7558  df-fi 7905  df-card 8352  df-cda 8580  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-fil 20639  df-ufil 20694  df-ufl 20695
This theorem is referenced by:  fiufl  20709  acufl  20710
  Copyright terms: Public domain W3C validator