Theorem nfop 4356

Description: Bound-variable hypothesis builder for ordered pairs. (Contributed by NM, 14-Nov-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
nfop.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
nfop.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐵

Assertion

Ref	Expression
nfop	⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Proof of Theorem nfop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopif 4337	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
2		nfop.1	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3	2	nfel1 2765	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐴 ∈ V
4		nfop.2	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5	4	nfel1 2765	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ V
6	3, 5	nfan 1816	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
7	2	nfsn 4189	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴}
8	2, 4	nfpr 4179	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐴, 𝐵}
9	7, 8	nfpr 4179	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}
10		nfcv 2751	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥∅
11	6, 9, 10	nfif 4065	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥if((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V), {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}, ∅)
12	1, 11	nfcxfr 2749	1 ⊢ Ⅎ𝑥⟨𝐴, 𝐵⟩

Syntax hints:   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  Ⅎwnfc 2738  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ifcif 4036  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132

This theorem is referenced by:  nfopd  4357  moop2  4891  iunopeqop  4906  fliftfuns  6464  dfmpt2  7154  qliftfuns  7721  xpf1o  8007  nfseq  12673  txcnp  21233  cnmpt1t  21278  cnmpt2t  21286  flfcnp2  21621  bnj958  30264  bnj1000  30265  bnj1446  30367  bnj1447  30368  bnj1448  30369  bnj1466  30375  bnj1467  30376  bnj1519  30387  bnj1520  30388  bnj1529  30392  poimirlem26  32605  nfopdALT  33276  nfaov  39908