Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nbfusgrlevtxm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbfusgrlevtxm2 40606
 Description: If there is a vertex which is not a neighbor of another vertex, the number of neighbors of the other vertex is at most the number of vertices of the graph minus 2 in a finite simple graph. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
hashnbusgrnn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbfusgrlevtxm2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((#‘𝑉) − 2))

Proof of Theorem nbfusgrlevtxm2
StepHypRef Expression
1 hashnbusgrnn0.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 fvex 6113 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . . 4 𝑉 ∈ V
4 difexg 4735 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V)
6 simpl 472 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
7 simp3 1056 . . . 4 ((𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) → 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))
81nbgrssvwo2 40587 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈)) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
96, 7, 8syl2an 493 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}))
10 hashss 13058 . . 3 (((𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈}) ∈ V ∧ (𝐺 NeighbVtx 𝑈) ⊆ (𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
115, 9, 10syl2anc 691 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})))
121isfusgr 40537 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1312simprbi 479 . . . . 5 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
1514adantr 480 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑉 ∈ Fin)
16 simpr1 1060 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑉)
17 simplr 788 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑈𝑉)
18 simpr2 1061 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → 𝑀𝑈)
19 hashdifpr 13064 . . 3 ((𝑉 ∈ Fin ∧ (𝑀𝑉𝑈𝑉𝑀𝑈)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((#‘𝑉) − 2))
2015, 16, 17, 18, 19syl13anc 1320 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑀, 𝑈})) = ((#‘𝑉) − 2))
2111, 20breqtrd 4609 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑀𝑉𝑀𝑈𝑀 ∉ (𝐺 NeighbVtx 𝑈))) → (#‘(𝐺 NeighbVtx 𝑈)) ≤ ((#‘𝑉) − 2))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∉ wnel 2781  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841   ≤ cle 9954   − cmin 10145  2c2 10947  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   FinUSGraph cfusgr 40535   NeighbVtx cnbgr 40550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554 This theorem is referenced by:  nbusgrvtxm1  40607
 Copyright terms: Public domain W3C validator