Theorem mvmumamul1 20179

Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mvmumamul1.x	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
mvmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
mvmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mvmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mvmumamul1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mvmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mvmumamul1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
mvmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑁))
mvmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mvmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑀(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mvmumamul1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mvmumamul1.t	. . . . . 6 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑀, 𝑁⟩)
2		mvmumamul1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		mvmumamul1.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑅 ∈ Ring)
6		mvmumamul1.m	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑀 ∈ Fin)
8		mvmumamul1.n	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑁 ∈ Fin)
10		mvmumamul1.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑀 × 𝑁)))
12		mvmumamul1.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑁))
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑁))
14		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑖 ∈ 𝑀)
15	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14	mvmulfv 20169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
16	15	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))))
17		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑌‘𝑗) = (𝑌‘𝑘))
18		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑍∅) = (𝑘𝑍∅))
19	17, 18	eqeq12d 2625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) ↔ (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
20	19	rspccv 3279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
21	20	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅)))
22	21	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑌‘𝑘) = (𝑘𝑍∅))
23	22	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)) = ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))
24	23	mpteq2dva 4672	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅))))
25	24	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑌‘𝑘)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
27		mvmumamul1.x	. . . . . . 7 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, {∅}⟩)
28		snfi 7923	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ∈ Fin
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → {∅} ∈ Fin)
30		mvmumamul1.z	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × {∅})))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (𝑁 × {∅})))
32		0ex 4718	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
33	32	snid 4155	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ {∅}
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ∅ ∈ {∅})
35	27, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34	mamufv 20012	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))))
36	35	eqcomd 2616	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
37	36	adantlr 747	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝐴𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑍∅)))) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
38	16, 26, 37	3eqtrd 2648	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑀) → ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
39	38	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅)) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅))
40	39	ex 449	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑀 ((𝐴 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝐴 × 𝑍)∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769   Σ_g cgsu 15924  Ringcrg 18370   maMul cmmul 20008   maVecMul cmvmul 20165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-1o 7447  df-en 7842  df-fin 7845  df-mamu 20009  df-mvmul 20166

This theorem is referenced by:  mavmumamul1  20180