Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Unicode version

Theorem mvmumamul1 18820
 Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x maMul
mvmumamul1.t maVecMul
mvmumamul1.b
mvmumamul1.r
mvmumamul1.m
mvmumamul1.n
mvmumamul1.a
mvmumamul1.y
mvmumamul1.z
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 maVecMul
2 mvmumamul1.b . . . . . 6
3 eqid 2467 . . . . . 6
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7
54adantr 465 . . . . . 6
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7
98adantr 465 . . . . . 6
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7
1110adantr 465 . . . . . 6
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7
1312adantr 465 . . . . . 6
14 simpr 461 . . . . . 6
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 18810 . . . . 5 g
1615adantlr 714 . . . 4 g
17 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13
18 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12
2019rspcva 3212 . . . . . . . . . . 11
2120expcom 435 . . . . . . . . . 10
2221adantl 466 . . . . . . . . 9
2322imp 429 . . . . . . . 8
2423oveq2d 6298 . . . . . . 7
2524mpteq2dva 4533 . . . . . 6
2625oveq2d 6298 . . . . 5 g g
2726adantr 465 . . . 4 g g
28 mvmumamul1.x . . . . . . 7 maMul
29 snfi 7593 . . . . . . . 8
3029a1i 11 . . . . . . 7
31 mvmumamul1.z . . . . . . . 8
3231adantr 465 . . . . . . 7
33 0ex 4577 . . . . . . . . 9
3433snid 4055 . . . . . . . 8
3534a1i 11 . . . . . . 7
3628, 2, 3, 5, 7, 9, 30, 11, 32, 14, 35mamufv 18653 . . . . . 6 g
3736eqcomd 2475 . . . . 5 g
3837adantlr 714 . . . 4 g
3916, 27, 383eqtrd 2512 . . 3
4039ralrimiva 2878 . 2
4140ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  c0 3785  csn 4027  cop 4033  cotp 4035   cmpt 4505   cxp 4997  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmap 7417  cfn 7513  cbs 14483  cmulr 14549   g cgsu 14689  crg 16983   maMul cmmul 18649   maVecMul cmvmul 18806 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-1o 7127  df-en 7514  df-fin 7517  df-mamu 18650  df-mvmul 18807 This theorem is referenced by:  mavmumamul1  18821
 Copyright terms: Public domain W3C validator