Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmumamul1 Structured version   Unicode version

Theorem mvmumamul1 19348
 Description: The multiplication of an MxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an MxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmumamul1.x maMul
mvmumamul1.t maVecMul
mvmumamul1.b
mvmumamul1.r
mvmumamul1.m
mvmumamul1.n
mvmumamul1.a
mvmumamul1.y
mvmumamul1.z
Assertion
Ref Expression
mvmumamul1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem mvmumamul1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmumamul1.t . . . . . 6 maVecMul
2 mvmumamul1.b . . . . . 6
3 eqid 2402 . . . . . 6
4 mvmumamul1.r . . . . . . 7
54adantr 463 . . . . . 6
6 mvmumamul1.m . . . . . . 7
76adantr 463 . . . . . 6
8 mvmumamul1.n . . . . . . 7
98adantr 463 . . . . . 6
10 mvmumamul1.a . . . . . . 7
1110adantr 463 . . . . . 6
12 mvmumamul1.y . . . . . . 7
1312adantr 463 . . . . . 6
14 simpr 459 . . . . . 6
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 14mvmulfv 19338 . . . . 5 g
1615adantlr 713 . . . 4 g
17 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12
18 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . 12
1917, 18eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11
2019rspccv 3157 . . . . . . . . . 10
2120adantl 464 . . . . . . . . 9
2221imp 427 . . . . . . . 8
2322oveq2d 6294 . . . . . . 7
2423mpteq2dva 4481 . . . . . 6
2524oveq2d 6294 . . . . 5 g g
2625adantr 463 . . . 4 g g
27 mvmumamul1.x . . . . . . 7 maMul
28 snfi 7634 . . . . . . . 8
2928a1i 11 . . . . . . 7
30 mvmumamul1.z . . . . . . . 8
3130adantr 463 . . . . . . 7
32 0ex 4526 . . . . . . . . 9
3332snid 4000 . . . . . . . 8
3433a1i 11 . . . . . . 7
3527, 2, 3, 5, 7, 9, 29, 11, 31, 14, 34mamufv 19181 . . . . . 6 g
3635eqcomd 2410 . . . . 5 g
3736adantlr 713 . . . 4 g
3816, 26, 373eqtrd 2447 . . 3
3938ralrimiva 2818 . 2
4039ex 432 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  c0 3738  csn 3972  cop 3978  cotp 3980   cmpt 4453   cxp 4821  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmap 7457  cfn 7554  cbs 14841  cmulr 14910   g cgsu 15055  crg 17518   maMul cmmul 19177   maVecMul cmvmul 19334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7167  df-en 7555  df-fin 7558  df-mamu 19178  df-mvmul 19335 This theorem is referenced by:  mavmumamul1  19349
 Copyright terms: Public domain W3C validator