Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexfidimd 16134
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 16133 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexfidimd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexfidimd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexfidimd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexfidimd.5 (𝜑𝑆𝐼)
mreexfidimd.6 (𝜑𝑇𝐼)
mreexfidimd.7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
mreexfidimd.8 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexfidimd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexfidimd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexfidimd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16119 . . . . 5 (𝜑𝑆𝑋)
71, 2, 6mrcssidd 16108 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
8 mreexfidimd.8 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑆) = (𝑁𝑇))
97, 8sseqtrd 3604 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
10 mreexfidimd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝐼)
113, 1, 10mrissd 16119 . . 3 (𝜑𝑇𝑋)
12 mreexfidimd.7 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
1312orcd 406 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 16133 . 2 (𝜑𝑆𝑇)
151, 2, 11mrcssidd 16108 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑇))
1615, 8sseqtr4d 3605 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
1712olcd 407 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ∈ Fin ∨ 𝑆 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 16133 . 2 (𝜑𝑇𝑆)
19 sbth 7965 . 2 ((𝑆𝑇𝑇𝑆) → 𝑆𝑇)
2014, 18, 19syl2anc 691 1 (𝜑𝑆𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  mrIndcmri 16067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-mri 16071 This theorem is referenced by:  acsexdimd  17006
 Copyright terms: Public domain W3C validator