Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexdomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreexdomd 16133
 Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if 𝑆 is independent and contained in the closure of 𝑇, and either 𝑆 or 𝑇 is finite, then 𝑇 dominates 𝑆. This is an immediate consequence of mreexexd 16131. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexdomd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mreexdomd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mreexdomd.3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
mreexdomd.4 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
mreexdomd.5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
mreexdomd.6 (𝜑𝑇𝑋)
mreexdomd.7 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
mreexdomd.8 (𝜑𝑆𝐼)
Assertion
Ref Expression
mreexdomd (𝜑𝑆𝑇)
Distinct variable groups:   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑆(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem mreexdomd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreexdomd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mreexdomd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3 mreexdomd.3 . . 3 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
4 mreexdomd.4 . . 3 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋𝑦𝑋𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
5 mreexdomd.8 . . . . 5 (𝜑𝑆𝐼)
63, 1, 5mrissd 16119 . . . 4 (𝜑𝑆𝑋)
7 dif0 3904 . . . 4 (𝑋 ∖ ∅) = 𝑋
86, 7syl6sseqr 3615 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
9 mreexdomd.6 . . . 4 (𝜑𝑇𝑋)
109, 7syl6sseqr 3615 . . 3 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑋 ∖ ∅))
11 mreexdomd.5 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁𝑇))
12 un0 3919 . . . . 5 (𝑇 ∪ ∅) = 𝑇
1312fveq2i 6106 . . . 4 (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)) = (𝑁𝑇)
1411, 13syl6sseqr 3615 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑁‘(𝑇 ∪ ∅)))
15 un0 3919 . . . 4 (𝑆 ∪ ∅) = 𝑆
1615, 5syl5eqel 2692 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∪ ∅) ∈ 𝐼)
17 mreexdomd.7 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ Fin ∨ 𝑇 ∈ Fin))
181, 2, 3, 4, 8, 10, 14, 16, 17mreexexd 16131 . 2 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝒫 𝑇(𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))
19 simprrl 800 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑖)
20 simprl 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖 ∈ 𝒫 𝑇)
2120elpwid 4118 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
221elfvexd 6132 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
2322, 9ssexd 4733 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ V)
24 ssdomg 7887 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2523, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2625adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → (𝑖𝑇𝑖𝑇))
2721, 26mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑖𝑇)
28 endomtr 7900 . . 3 ((𝑆𝑖𝑖𝑇) → 𝑆𝑇)
2919, 27, 28syl2anc 691 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝒫 𝑇 ∧ (𝑆𝑖 ∧ (𝑖 ∪ ∅) ∈ 𝐼))) → 𝑆𝑇)
3018, 29rexlimddv 3017 1 (𝜑𝑆𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  Moorecmre 16065  mrClscmrc 16066  mrIndcmri 16067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-mri 16071 This theorem is referenced by:  mreexfidimd  16134
 Copyright terms: Public domain W3C validator