MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Unicode version

Theorem mreexfidimd 13802
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 13801 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexfidimd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexfidimd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexfidimd.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexfidimd.5  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
mreexfidimd.6  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
mreexfidimd.7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
mreexfidimd.8  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
Distinct variable groups:    X, s,
y, z    ph, s, y, z    I, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    S( y, z, s)    T( y, z, s)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mreexfidimd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 mreexfidimd.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 mreexfidimd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
63, 1, 5mrissd 13788 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
71, 2, 6mrcssidd 13777 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  S ) )
8 mreexfidimd.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
97, 8sseqtrd 3327 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  T ) )
10 mreexfidimd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
113, 1, 10mrissd 13788 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
12 mreexfidimd.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
1312orcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  \/  T  e.  Fin )
)
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 13801 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
151, 2, 11mrcssidd 13777 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  T ) )
1615, 8sseqtr4d 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
1712olcd 383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  Fin  \/  S  e.  Fin )
)
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 13801 . 2  |-  ( ph  ->  T  ~<_  S )
19 sbth 7163 . 2  |-  ( ( S  ~<_  T  /\  T  ~<_  S )  ->  S  ~~  T )
2014, 18, 19syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649    \ cdif 3260    u. cun 3261   ~Pcpw 3742   {csn 3757   class class class wbr 4153   ` cfv 5394    ~~ cen 7042    ~<_ cdom 7043   Fincfn 7045  Moorecmre 13734  mrClscmrc 13735  mrIndcmri 13736
This theorem is referenced by:  acsexdimd  14536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-ac2 8276
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-riota 6485  df-recs 6569  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-card 7759  df-ac 7930  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-mri 13740
  Copyright terms: Public domain W3C validator