MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreexfidimd Unicode version

Theorem mreexfidimd 13830
Description: In a Moore system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure and one is finite, then they are equinumerous. Proven by using mreexdomd 13829 twice. This implies a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mreexfidimd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
mreexfidimd.2  |-  N  =  (mrCls `  A )
mreexfidimd.3  |-  I  =  (mrInd `  A )
mreexfidimd.4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
mreexfidimd.5  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
mreexfidimd.6  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
mreexfidimd.7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
mreexfidimd.8  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
Assertion
Ref Expression
mreexfidimd  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
Distinct variable groups:    X, s,
y, z    ph, s, y, z    I, s, y, z    N, s, y, z
Allowed substitution hints:    A( y, z, s)    S( y, z, s)    T( y, z, s)

Proof of Theorem mreexfidimd
StepHypRef Expression
1 mreexfidimd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  (Moore `  X ) )
2 mreexfidimd.2 . . 3  |-  N  =  (mrCls `  A )
3 mreexfidimd.3 . . 3  |-  I  =  (mrInd `  A )
4 mreexfidimd.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  X A. y  e.  X  A. z  e.  (
( N `  (
s  u.  { y } ) )  \ 
( N `  s
) ) y  e.  ( N `  (
s  u.  { z } ) ) )
5 mreexfidimd.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  I )
63, 1, 5mrissd 13816 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
71, 2, 6mrcssidd 13805 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  S ) )
8 mreexfidimd.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  S
)  =  ( N `
 T ) )
97, 8sseqtrd 3344 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  ( N `  T ) )
10 mreexfidimd.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  I )
113, 1, 10mrissd 13816 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  X )
12 mreexfidimd.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
1312orcd 382 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  e.  Fin  \/  T  e.  Fin )
)
141, 2, 3, 4, 9, 11, 13, 5mreexdomd 13829 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~<_  T )
151, 2, 11mrcssidd 13805 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  T ) )
1615, 8sseqtr4d 3345 . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( N `  S ) )
1712olcd 383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  Fin  \/  S  e.  Fin )
)
181, 2, 3, 4, 16, 6, 17, 10mreexdomd 13829 . 2  |-  ( ph  ->  T  ~<_  S )
19 sbth 7186 . 2  |-  ( ( S  ~<_  T  /\  T  ~<_  S )  ->  S  ~~  T )
2014, 18, 19syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  S  ~~  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    \ cdif 3277    u. cun 3278   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   ` cfv 5413    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068  Moorecmre 13762  mrClscmrc 13763  mrIndcmri 13764
This theorem is referenced by:  acsexdimd  14564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-ac2 8299
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6508  df-recs 6592  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-ac 7953  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-mri 13768
  Copyright terms: Public domain W3C validator