Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem1 9737
 Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem1 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem1
StepHypRef Expression
1 pssnel 3991 . . 3 (𝐴𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴))
2 prnmadd 9698 . . . . . . . . 9 ((𝐵P𝑦𝐵) → ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
32anim2i 591 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P𝑦𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4 19.42v 1905 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑥(𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
53, 4sylibr 223 . . . . . . 7 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P𝑦𝐵)) → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
65exp32 629 . . . . . 6 𝑦𝐴 → (𝐵P → (𝑦𝐵 → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
76com3l 87 . . . . 5 (𝐵P → (𝑦𝐵 → (¬ 𝑦𝐴 → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
87impd 446 . . . 4 (𝐵P → ((𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
98eximdv 1833 . . 3 (𝐵P → (∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ¬ 𝑦𝐴) → ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
101, 9syl5 33 . 2 (𝐵P → (𝐴𝐵 → ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
11 ltexprlem.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
1211abeq2i 2722 . . . 4 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1312exbii 1764 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐶 ↔ ∃𝑥𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
14 n0 3890 . . 3 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
15 excom 2029 . . 3 (∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1613, 14, 153bitr4i 291 . 2 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦𝑥𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
1710, 16syl6ibr 241 1 (𝐵P → (𝐴𝐵𝐶 ≠ ∅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  {cab 2596   ≠ wne 2780   ⊊ wpss 3541  ∅c0 3874  (class class class)co 6549   +Q cplq 9556  Pcnp 9560 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-ltnq 9619  df-np 9682 This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9741
 Copyright terms: Public domain W3C validator