MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem2 9738
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2 (𝐵P𝐶Q)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21abeq2i 2722 . . . 4 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3 elprnq 9692 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
4 addnqf 9649 . . . . . . . . . . 11 +Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 5965 . . . . . . . . . 10 dom +Q = (Q × Q)
6 0nnq 9625 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ Q
75, 6ndmovrcl 6718 . . . . . . . . 9 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦Q𝑥Q))
9 ltaddnq 9675 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥Q𝑦Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
109ancoms 468 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
11 addcomnq 9652 . . . . . . . . . 10 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
1210, 11syl6breq 4624 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 prcdnq 9694 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥) → 𝑥𝐵))
1412, 13syl5 33 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥𝐵))
158, 14mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵)
1615ex 449 . . . . . 6 (𝐵P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
1716adantld 482 . . . . 5 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
1817exlimdv 1848 . . . 4 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
192, 18syl5bi 231 . . 3 (𝐵P → (𝑥𝐶𝑥𝐵))
2019ssrdv 3574 . 2 (𝐵P𝐶𝐵)
21 prpssnq 9691 . 2 (𝐵P𝐵Q)
2220, 21sspsstrd 3677 1 (𝐵P𝐶Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  {cab 2596  wpss 3541   class class class wbr 4583   × cxp 5036  (class class class)co 6549  Qcnq 9553   +Q cplq 9556   <Q cltq 9559  Pcnp 9560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-ltnq 9619  df-np 9682
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9741
  Copyright terms: Public domain W3C validator