MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltexprlem1 9479
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem1  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem1
StepHypRef Expression
1 pssnel 3829 . . 3  |-  ( A 
C.  B  ->  E. y
( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
) )
2 prnmadd 9440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  y  e.  B )  ->  E. x ( y  +Q  x )  e.  B )
32anim2i 579 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  y  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. x ( y  +Q  x )  e.  B
) )
4 19.42v 1842 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  E. x ( y  +Q  x )  e.  B
) )
53, 4sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  y  e.  B ) )  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
65exp32 616 . . . . . 6  |-  ( -.  y  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( y  e.  B  ->  E. x ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
76com3l 83 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
y  e.  B  -> 
( -.  y  e.  A  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
87impd 438 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A
)  ->  E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) ) )
98eximdv 1772 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( y  e.  B  /\  -.  y  e.  A )  ->  E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) ) )
101, 9syl5 32 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) ) )
11 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1211abeq2i 2583 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
1312exbii 1726 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  C  <->  E. x E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
14 n0 3732 . . 3  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  C )
15 excom 1944 . . 3  |-  ( E. y E. x ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  <->  E. x E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )
1613, 14, 153bitr4i 285 . 2  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. y E. x
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
1710, 16syl6ibr 235 1  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641    C. wpss 3391   (/)c0 3722  (class class class)co 6308    +Q cplq 9298   P.cnp 9302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-ltnq 9361  df-np 9424
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9483
  Copyright terms: Public domain W3C validator