Theorem lsatspn0 33305

Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatspn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatspn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsatspn0	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lsatspn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatspn0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatspn0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		isateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 4, 5	lsatn0 33304	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7		sneq 4135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
8	7	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsatspn0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	1, 11	lspsn0 18829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
14	9, 13	eqtrd 2644	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
15	14	ex 449	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
16	15	necon3d 2803	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
17	6, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 0 )
18		lsatspn0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
19	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20		isateln0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
23		eldifsn 4260	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
24	21, 22, 23	sylanbrc 695	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	18, 11, 1, 2, 19, 24	lsatlspsn 33298	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
26	17, 25	impbida 873	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  LSAtomsclsa 33279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lsatoms 33281

This theorem is referenced by:  lsator0sp  33306  lcfl8b  35811  mapdpglem5N  35984  mapdpglem30a  36002  mapdpglem30b  36003