Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Unicode version

Theorem lsatspn0 35122
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lsatspn0.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lsatspn0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lsatspn0.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
isateln0.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
isateln0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lsatspn0  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  <->  X  =/=  .0.  ) )

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
2 lsatspn0.a . . . 4  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
3 isateln0.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
43adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  ->  W  e.  LMod )
5 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( N `  { X } )  e.  A
)
61, 2, 4, 5lsatn0 35121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( N `  { X } )  =/=  {  .0.  } )
7 sneq 4026 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  .0.  ->  { X }  =  {  .0.  } )
87fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( X  =  .0.  ->  ( N `  { X } )  =  ( N `  {  .0.  } ) )
98adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  ( N `
 {  .0.  }
) )
104adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  W  e. 
LMod )
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( LSpan `  W )
121, 11lspsn0 17849 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
1310, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
149, 13eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A
)  /\  X  =  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  =  {  .0.  } )
1514ex 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( X  =  .0. 
->  ( N `  { X } )  =  {  .0.  } ) )
1615necon3d 2678 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  -> 
( ( N `  { X } )  =/= 
{  .0.  }  ->  X  =/=  .0.  ) )
176, 16mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( N `  { X } )  e.  A )  ->  X  =/=  .0.  )
18 lsatspn0.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
193adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  W  e. 
LMod )
20 isateln0.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2120adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  V )
22 simpr 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  =/= 
.0.  )
23 eldifsn 4141 . . . 4  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  <->  ( X  e.  V  /\  X  =/= 
.0.  ) )
2421, 22, 23sylanbrc 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  X  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 35115 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  .0.  )  ->  ( N `
 { X }
)  e.  A )
2617, 25impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  e.  A  <->  X  =/=  .0.  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458   {csn 4016   ` cfv 5570   Basecbs 14716   0gc0g 14929   LModclmod 17707   LSpanclspn 17812  LSAtomsclsa 35096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-mgp 17337  df-ring 17395  df-lmod 17709  df-lss 17774  df-lsp 17813  df-lsatoms 35098
This theorem is referenced by:  lsator0sp  35123  lcfl8b  37628  mapdpglem5N  37801  mapdpglem30a  37819  mapdpglem30b  37820
  Copyright terms: Public domain W3C validator