Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnopmul 28210
 Description: Multiplicative property of a linear Hilbert space operator. (Contributed by NM, 13-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
lnopmul ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnopmul
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27244 . . . 4 0 ∈ ℋ
2 lnopl 28157 . . . 4 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℋ ∧ 0 ∈ ℋ)) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
31, 2mpanr2 716 . . 3 (((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
433impa 1251 . 2 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)))
5 hvmulcl 27254 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
6 ax-hvaddid 27245 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
873adant1 1072 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) + 0) = (𝐴 · 𝐵))
98fveq2d 6107 . 2 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝐴 · 𝐵) + 0)) = (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)))
10 lnop0 28209 . . . . 5 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇‘0) = 0)
1110oveq2d 6565 . . . 4 (𝑇 ∈ LinOp → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0))
12113ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0))
13 lnopf 28102 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
1413ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
15 hvmulcl 27254 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
1614, 15sylan2 490 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
17163impb 1252 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
18173com12 1261 . . . 4 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
19 ax-hvaddid 27245 . . . 4 ((𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
2018, 19syl 17 . . 3 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + 0) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
2112, 20eqtrd 2644 . 2 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · (𝑇𝐵)) + (𝑇‘0)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
224, 9, 213eqtr3d 2652 1 ((𝑇 ∈ LinOp ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘(𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   ℋchil 27160   +ℎ cva 27161   ·ℎ csm 27162  0ℎc0v 27165  LinOpclo 27188 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-neg 10148  df-hvsub 27212  df-lnop 28084 This theorem is referenced by:  lnopmuli  28215  homco2  28220
 Copyright terms: Public domain W3C validator