Theorem lautm 34398

Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lautm.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2610	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 472	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr1 1060	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
5	3, 4	jca 553	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6		lautm.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	1, 6	latmcl 16875	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r1 1266	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		lautm.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	1, 9	lautcl 34391	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
11	5, 8, 10	syl2anc 691	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1061	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 9	lautcl 34391	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 9	lautcl 34391	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 15, 16	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 6	latmcl 16875	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 6	latmle1 16899	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
21	20	3adant3r1 1266	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
22	1, 2, 9	lautle 34388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
23	5, 8, 12, 22	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
24	21, 23	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
25	1, 2, 6	latmle2 16900	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
26	25	3adant3r1 1266	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
27	1, 2, 9	lautle 34388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
28	5, 8, 15, 27	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
29	26, 28	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
30	1, 2, 6	latlem12 16901	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
31	3, 11, 14, 17, 30	syl13anc 1320	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
32	24, 29, 31	mpbi2and 958	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
33	1, 9	laut1o 34389	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
34	33	3ad2antr1 1219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
35		f1ocnvfv2 6433	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
36	34, 19, 35	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
37	1, 2, 6	latmle1 16899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
38	3, 14, 17, 37	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
39	1, 2, 9	lautcnvle 34393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
40	5, 19, 14, 39	syl12anc 1316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
41	38, 40	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)))
42		f1ocnvfv1 6432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
43	34, 12, 42	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
44	41, 43	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
45	1, 2, 6	latmle2 16900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
46	3, 14, 17, 45	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
47	1, 2, 9	lautcnvle 34393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
48	5, 19, 17, 47	syl12anc 1316	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
49	46, 48	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)))
50		f1ocnvfv1 6432	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
51	34, 15, 50	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
52	49, 51	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
53		f1ocnvdm 6440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
54	34, 19, 53	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
55	1, 2, 6	latlem12 16901	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
56	3, 54, 12, 15, 55	syl13anc 1320	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
57	44, 52, 56	mpbi2and 958	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
58	1, 2, 9	lautle 34388	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
59	5, 54, 8, 58	syl12anc 1316	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
60	57, 59	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
61	36, 60	eqbrtrrd 4607	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
62	1, 2, 3, 11, 19, 32, 61	latasymd 16880	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  meetcmee 16768  Latclat 16868  LAutclaut 34289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-map 7746  df-preset 16751  df-poset 16769  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-lat 16869  df-laut 34293

This theorem is referenced by:  ltrnm  34435