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Theorem lautm 33111
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautm.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lautm.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautm  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2402 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 455 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 1003 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 530 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautm.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
71, 6latmcl 16006 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1206 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
9 lautm.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 33104 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 659 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
12 simpr2 1004 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 33104 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 1005 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 33104 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latmcl 16006 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1230 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 2, 6latmle1 16030 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
21203adant3r1 1206 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
221, 2, 9lautle 33101 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
235, 8, 12, 22syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
2421, 23mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
251, 2, 6latmle2 16031 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
26253adant3r1 1206 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
271, 2, 9lautle 33101 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
285, 8, 15, 27syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
2926, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
301, 2, 6latlem12 16032 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( F `  X )  /\  ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y ) )  <-> 
( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1232 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  /\  ( F `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( F `  Y ) )  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( ( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
3224, 29, 31mpbi2and 922 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
331, 9laut1o 33102 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
34333ad2antr1 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
35 f1ocnvfv2 6164 . . . 4  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )
3634, 19, 35syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) )
371, 2, 6latmle1 16030 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
383, 14, 17, 37syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
391, 2, 9lautcnvle 33106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 X )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
405, 19, 14, 39syl12anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
4138, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  X
) ) )
42 f1ocnvfv1 6163 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  X ) )  =  X )
4334, 12, 42syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 X ) )  =  X )
4441, 43breqtrd 4419 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) X )
451, 2, 6latmle2 16031 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
463, 14, 17, 45syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
471, 2, 9lautcnvle 33106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
485, 19, 17, 47syl12anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
4946, 48mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  Y
) ) )
50 f1ocnvfv1 6163 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  Y  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  Y ) )  =  Y )
5134, 15, 50syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 Y ) )  =  Y )
5249, 51breqtrd 4419 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) Y )
53 f1ocnvdm 6171 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
5434, 19, 53syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
551, 2, 6latlem12 16032 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
5744, 52, 56mpbi2and 922 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  Y ) )
581, 2, 9lautle 33101 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
595, 54, 8, 58syl12anc 1228 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
6057, 59mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ) ( le `  K
) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
6136, 60eqbrtrrd 4417 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 16011 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   `'ccnv 4822   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   lecple 14916   meetcmee 15898   Latclat 15999   LAutclaut 33002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-map 7459  df-preset 15881  df-poset 15899  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-lat 16000  df-laut 33006
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