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Theorem lautm 34096
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautm.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lautm.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautm  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2454 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 457 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 994 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 532 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautm.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
71, 6latmcl 15344 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1197 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
9 lautm.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 34089 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
12 simpr2 995 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 34089 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 34089 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latmcl 15344 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 2, 6latmle1 15368 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
21203adant3r1 1197 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
221, 2, 9lautle 34086 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
235, 8, 12, 22syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
2421, 23mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
251, 2, 6latmle2 15369 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
26253adant3r1 1197 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
271, 2, 9lautle 34086 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
285, 8, 15, 27syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
2926, 28mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
301, 2, 6latlem12 15370 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( F `  X )  /\  ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y ) )  <-> 
( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  /\  ( F `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( F `  Y ) )  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( ( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
3224, 29, 31mpbi2and 912 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
331, 9laut1o 34087 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
34333ad2antr1 1153 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
35 f1ocnvfv2 6096 . . . 4  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )
3634, 19, 35syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) )
371, 2, 6latmle1 15368 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
383, 14, 17, 37syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
391, 2, 9lautcnvle 34091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 X )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
405, 19, 14, 39syl12anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
4138, 40mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  X
) ) )
42 f1ocnvfv1 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  X ) )  =  X )
4334, 12, 42syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 X ) )  =  X )
4441, 43breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) X )
451, 2, 6latmle2 15369 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
463, 14, 17, 45syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
471, 2, 9lautcnvle 34091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
485, 19, 17, 47syl12anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
4946, 48mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  Y
) ) )
50 f1ocnvfv1 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  Y  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  Y ) )  =  Y )
5134, 15, 50syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 Y ) )  =  Y )
5249, 51breqtrd 4427 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) Y )
53 f1ocnvdm 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
5434, 19, 53syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
551, 2, 6latlem12 15370 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1221 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
5744, 52, 56mpbi2and 912 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  Y ) )
581, 2, 9lautle 34086 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
595, 54, 8, 58syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
6057, 59mpbid 210 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ) ( le `  K
) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
6136, 60eqbrtrrd 4425 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 15349 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   lecple 14367   meetcmee 15237   Latclat 15337   LAutclaut 33987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-map 7329  df-poset 15238  df-lub 15266  df-glb 15267  df-join 15268  df-meet 15269  df-lat 15338  df-laut 33991
This theorem is referenced by:  ltrnm  34133
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